（2013•顺义区二模）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD的中点，F为AA₁的中点．
（I）求证：AD₁⊥平面A₁B₁E；
（II）求证：DF∥平面AB₁E；
（III）若二面角A-B₁E-A₁的大小为45°，求AB的长．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，E是棱CD上的一点．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）求证：B₁E⊥AD₁；
（3）若E是棱CD的中点，在棱AA₁上是否存在点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

（2012•福建）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，点E在棱CD上，且CE=

1

3

CD．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）在棱AA₁上是否存在点P，使DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；
（3）若二面角A-B₁E-A₁的余弦值为

30

6

，求棱AB的长．