Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，E是棱CD上的一点．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）求证：B₁E⊥AD₁；
（3）若E是棱CD的中点，在棱AA₁上是否存在点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证AD₁⊥平面A₁B₁D，只需证明A₁B₁⊥AD₁，AD₁⊥A₁D即可．
（2）要证B₁E⊥AD₁，只需证明AD₁⊥面A₁B₁CD即可说明结果．
（3）点P是棱AA₁的中点，使得DP∥平面B₁AE，通过在AB₁上取中点M，连接PM₁ME．证明PM∥A₁B₁，且PM=

1

2

A₁B₁，然后说明四边形PMED是平行四边形，然后证明DP∥平面B₁AE．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为A₁B₁⊥面A₁D₁DA，
所以A₁B₁⊥AD₁．  …（2分）
在矩形A₁D₁DA中，因为AA₁=AD=2，
所以AD₁⊥A₁D．…（4分）
所以AD₁⊥面A₁B₁D．…（5分）
（2）证明：因为E∈CD，所以B₁E?面A₁B₁CD，
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁CD，…（7分）
所以B₁E⊥AD₁． …（8分）
（3）当点P是棱AA₁的中点时，有DP∥平面B₁AE．  …（9分）
理由如下：
在AB₁上取中点M，连接PM₁ME．
因为P是棱AA₁的中点，M是AB₁的中点，
所以PM∥A₁B₁，且PM=

1

2

A₁B₁．…（10分）
又DE∥A₁B₁，且DE=

1

2

A₁B₁．
所以PM∥DE，且M=DE，
所以四边形PMED是平行四边形，
所以DP∥ME．…（11分）
又DP?面B₁AE，ME?面B₁AE，
所以DP∥平面B₁AE．  …（13分）
此时，AP=

1

2

A₁A=1． …（14分）

点评：本题考查直线与平面的垂直与平行的判断与性质，考查空间想象能力，逻辑推理能力．