（1）如图在反比例函数y=-

4

x

（x＞0）的图象上，有三点P₁、P₂、P₃，它们的横坐标依次为1、2、3，分别过这3个点作x轴、y轴的垂线，设图中阴影部分面积依次为S₁、S₂、S₃，则S₁+S₂+S₃=

 

．
（2）若一次函数y=mx-4的图象与（1）中的反比例函数y=-

4

x

（x＞0）的图象有交点，求m的取值范围．

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如图（1），已知，矩形ABCD的边AD=3，对角线长为5，将矩形ABCD置于直角坐标系内，点C与原点O重合，且反比例函数的图象的一个分支位于第一象限．
①求图（1）中，点A的坐标是多少？
②若矩形ABCD从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数的图象上，如图（2），求反比例函数的表达式．
③矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AD与反比例函数图象分别交于P、Q两点，如图（3），设移动总时间为t（1＜t＜5），分别写出△PBC的面积S₁、△QDC的面积S₂与t的函数关系式，并求当t为何值时，S₂=

10

7

S₁？

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.如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值。（图（2）、图（3）供画图探究）

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阅卷须知：

1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．

2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

答 案

B

D

A

C

B

A

D

A

二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）

题 号

9

10

11

12

答 案

（或）

三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）

13. 解：

                    …………………………………3分

      ．                                  …………………………………5分

14. 解：由不等式，得．        …………………………………1分

　　　  由不等式，得．          …………………………………2分

        ∴ 原不等式组的解集是．      …………………………………3分

        在数轴上表示为：

                                                                                                                           …………………………………5分

15. 解：去分母，得

       ．               …………………………………2分

去括号，整理，得

    ．                             

解得 ．                               …………………………………4分

经检验，是原方程的根．                …………………………………5分

所以，原方程的根为．

16．证明：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ ，．

∴ ．       …………………2分

在和中，

∴ ≌．                       …………………………………4分

∴ ．                             …………………………………5分

17．解：

       ．                           …………………………………3分

∵ ，

∴ ．

即 ．            …………………………………5分

四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）

18. 解：（1）由题意得≌，所以，．

∵ 在中，，，

∴ ．

    ∴ ．即．            …………………………………1分

    在等腰梯形中，，，∴ ．

    ∴ ．                               …………………………………3分

   （2）由（1）得，．

        在中，，，，

        所以，．           …………………………………5分

19.（1）证明：如图，联结．                 …………………………………1分

    ∵ ，，

    ∴ ．

    ∴ 是等边三角形．

    ∴ ，．

    ∴ ．

    ∴ ．                          …………………………………2分

    所以，是⊙的切线．                   …………………………………3分

  （2）解：作于点．

    ∵ ，∴ ．

    又，，所以在中，．

    在中，∵ ，∴ ．

    由勾股定理，可求．

    所以，．          …………………………………5分

五、解答题（本题满分6分）

20. 解：

  （1）10%．          ……………………2分

  （2）340人，见右图．……………………4分

  （3）约660万人．    ……………………6分

六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）

21. 解：（1）在抛物线中，令，得，

   解得或（）．所以，，．

   ∵ ，∴ ．

   所以，点的坐标为（，0），               …………………………………1分

         点的坐标为（，）．             …………………………………2分

  （2）的面积，所以，当时，．

                                              …………………………………4分

22. 解：（1）跳棋子跳过路径及各点字母如图．   

                                 ………………3分

  （2）跳跃15次后，停在处，

     过作，垂足为点，

     则；

         由，∴ ．

                                               …………………………………5分

七、解答题（本题满分7分）

23．（1）证明：设，，，与的面积分别为，，矩形的面积为．

由题意，得 ，，．

∴ ，，．

∴ ．

∴ 四边形的面积是定值．             …………………………………2分

   （2）解：由（1）可知，则．

  又∵ ，

  ∴ ．

  ∵ ，，

     ∴ ．

     ∴ ．                             …………………………………4分

   （3）解：①由题意知：．       …………………………………5分

   ②、两点坐标分别为，，

  ∴ ．

  ∴ ．

  ∴ ．

  ∴ 当时，有最大值．           …………………………………7分

八、解答题（本题满分7分）

24．解：（1）如图（1），当时，的边与⊙相切；

            如图（2），当时，的边与⊙相切；

            如图（3），当时，的边与⊙相切；

            如图（4），当时，的边所在直线与⊙相切．

                                               …………………………………4分

   （2）由（1），可知，当和时，半圆与直线围成的区域与

        三边围成的区域有重叠部分，如图（2）、（3）的阴影部分所示，重叠部分的面积分别为和．

                                           …………………………………7分

九、解答题（本题满分8分）

25．（1）证明：∵ ，∴ ．∴ ．

    又∵ ，∴ ．

    ∴ ．∴ ∽．   …………………………………2分

   （2）证明：如图，过点作，交于点，

    ∵ 是的中点，容易证明．

    在中，∵ ，∴ ．

    ∴ ．

    ∴ ．                        …………………………………5分

  （3）解：的周长，．

       设，则．

    ∵ ，∴ ．即．

    ∴ ．

    由（1）知∽，

    ∴ ．

    ∴ 的周长的周长．

    ∴ 的周长与值无关．               …………………………………8分