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直线AB过抛物线x²=2py（p>0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点.
求证：；
（Ⅲ）若p是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为［5，20］时，求该抛物线的方程.

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平面直角坐标系中过C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点，如图设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（1）求证y₁，y₂为定值；
（2）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．

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一、选择题（每小题5分，共50分）

二、填空题（每小题4分，共28分）

三、解答题

18.解：（Ⅰ）由已有

                                    (4分)

                                            (6分)

（Ⅱ）由（1）且                                 (8分)

所以              （10分）

                                                      （12分）

                                  （14分）

19.解：（Ⅰ）同学甲同学恰好投4次达标的概率           (4分)

（Ⅱ）可取的值是

                                              （6分）

                                            （8分）

                                              （10分）

的分布列为

3

4

5

                                                                      （12分）

所以的数学期望为                   （14分）

20.解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC                （4分）

（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE

建立如图所示空间直角坐标系，则

A（0，，0，0），P（0，0，），C（，0），D（，0）

，，                  (6分)

易求为平面PAC的一个法向量.

为平面PDC的一个法向量                                  （9分）

∴cos

故二面角D-PC-A的正切值为2.  (11分)

（Ⅲ）设,则

   ,

解得点,即   （13分）

由得(不合题意舍去)或

所以当为的中点时,直线与平面所成角的正弦值为   （15分）

21.解：（Ⅰ）设直线的方程为：

由得，所以的方程为                     (4分)

由得点的坐标为.

可求得抛物线的标准方程为.                                       （6分）

（Ⅱ）设直线的方程为，代入抛物线方程并整理得    (8分)     

设则

设，则

                                      (11分)

当时上式是一个与无关的常数.

所以存在定点，相应的常数是.                                     (14分)

22．解：（Ⅰ）当时               (2分)

在上递增，在上递减

所以在0和2处分别达到极大和极小，由已知有

且，因而的取值范围是.                                   (4分)

（Ⅱ）当时，即