Question

直线AB过抛物线x²=2py（p>0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点.
求证：；
（Ⅲ）若p是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为［5，20］时，求该抛物线的方程.

Answer 1

（Ⅰ）·的取值范围是.   
（Ⅱ）证明见解析
（Ⅲ）抛物线的方程：x²=4y.    

（Ⅰ）由条件得M(0，－)，F(0，).设直线AB的方程为
       y=kx+，A(，)，B(，)
则，，Q().  …………………………2分
由得.
∴由韦达定理得+=2pk，·=－   …………………………3分
从而有= +=k(+)+p=2pk÷p.
∴·的取值范围是.     …………………………4分
（Ⅱ）抛物线方程可化为，求导得.
∴      =y    .
∴切线NA的方程为：y－即.
切线NB的方程为：  …………………………6分
由解得∴N()
从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同.
∴NQ∥OF.即   …………………………7分
又由（Ⅰ）知+=2pk，·=－p
∴N(pk，－).     …………………………8分
而M(0，－) ∴
又. ∴.      …………………………9分
（Ⅲ）由.又根据(Ⅰ)知
∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.  …………………………10分
由于=(－pk，p)， 
∴
从而.        …………………………11分
又||=，||=
∴.
而的取值范围是［5，20］.
∴5≤5p²≤20，1≤p²≤4.  …………………………13分
而p>0，∴1≤p≤2.
又p是不为1的正整数.
∴p=2.
故抛物线的方程：x²=4y.     …………………………14分