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    ③如果函数对任意的都满足.则函数是周期函数, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如果函数f(x)=
    1
    3
    x3-a2x    满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（　　）
    A、[-
    2
    		3
    3
    ，
    2
    		3
    3
    ]
    B、(-
    2
    		3
    3
    ，
    2
    		3
    3
    )
    C、[-
    2
    		3
    3
    ，0)∪(0，
    2
    		3
    3
    ]
    D、(-
    2
    		3
    3
    ，0)∪(0，
    2
    		3
    3
    )

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    如果函数f （x）满足：对任意的实数 x，y都有 f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ） 且f （ 1 ）=2，则
    f(2)
    f(1)
    +
    f(4)
    f(2)
    +
    f(6)
    f(3)
    +
    f(8)
    f(4)
    +…+
    f(20)
    f(10)
    =
     
    ．

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    如果函数f（x）满足下列条件：
    ①对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；
    ②对于满足条件0≤x1≤1，0≤x2≤1，0≤x1+x2≤1的任意两个数x1，x2，
    都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．则称函数f（x）为Γ函数．
    （Ⅰ）分别判断函数f1（x）=x与f2（x）=sin
    π
    2
    x是否为Γ函数，并说明理由；
    （Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
    （Ⅲ）不等式f（x）≤
    3
    2
    x对于一切x∈[0，1]都成立吗？证明你的结论．

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    如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f（x）称为N函数．例如：f（x）=x就是N函数．
    （Ⅰ）判断下列函数：①y=x2，②y=2x-1，③y=[
    		x
    ]中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；
    （Ⅱ）判断函数g（x）=[lnx]+1是否为N函数，并证明你的结论；
    （Ⅲ）证明：对于任意实数a，b，函数f（x）=[b•ax]都不是N函数．
    （注：“[x]”表示不超过x的最大整数）

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    如果函数f（x）满足：对任意的实数n，m都有f（n+m）=f（n）+f（m）+12且f(n+m)=f(n)+f(m)+
    1
    2
    且    f（
    1
    2
    ）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）（n∈N*）等于（　　）
    A、n
    B、n2
    C、
    n2
    2
    D、
    n2
    4

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    一、选择题：

    1．D  2．A  3  B  4．D 5．A 6．D 7．B 8．C   9．A  10．B  11.A  12.B

    二、填空题：

    13．12           14．6ec8aac122bd4f6e    15   3           16．，①②③④   

    三、解答题：

    17．解：法（1）：①∵6ec8aac122bd4f6e=(1+cosB，sinB)与6ec8aac122bd4f6e=（0，1）所成的角为6ec8aac122bd4f6e

    ∴6ec8aac122bd4f6e与向量6ec8aac122bd4f6e=（1，0）所成的角为6ec8aac122bd4f6e                                                    

    ∴6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e                                                   （2分）

    而B∈（0，π），∴6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e，∴B=6ec8aac122bd4f6e。                             （4分）

    ②令AB=c，BC=a，AC=b

    ∵B=6ec8aac122bd4f6e，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=6ec8aac122bd4f6e，∵a，c>0。             （6分）

    ∴a2+c2≥6ec8aac122bd4f6e，ac≤6ec8aac122bd4f6e （当且仅当a=c时等号成立）

    ∴12=a2+c2-ac≥6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e                                               （8分）

    ∴(a+c)2≤48，∴a+c≤6ec8aac122bd4f6e，∴a+b+c≤6ec8aac122bd4f6e+6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e（当且仅当a=c时取等号）

    故ΔABC的周长的最大值为6ec8aac122bd4f6e。                                                           （10分）

    法2：（1）cos<6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e>=cos6ec8aac122bd4f6e

    ∴6ec8aac122bd4f6e，                                                                                   （2分）

    即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=6ec8aac122bd4f6e或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B=6ec8aac122bd4f6e （4分）

    （2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周长为6ec8aac122bd4f6e，则6ec8aac122bd4f6e=a+c+6ec8aac122bd4f6e

    而a=b?6ec8aac122bd4f6e，c=b?6ec8aac122bd4f6e                                      （2分）

    ∴6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

    =6ec8aac122bd4f6e                                （8分）

    ∵A∈（0，6ec8aac122bd4f6e），∴A-6ec8aac122bd4f6e，

    当且仅当A=6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e。                                         （10分）

     18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC6ec8aac122bd4f6e平面AC，∴PA⊥BC

    ∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

    （2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1

    ∴ΔADC为等边三角形，且AC=1，取AC的中点O，则DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，

    ∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH

    由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角

    由OH=6ec8aac122bd4f6e，DO=6ec8aac122bd4f6e，∴tan∠DHO=6ec8aac122bd4f6e=2

    ∴二面角D-PC-A的大小的正切值为2。

    6ec8aac122bd4f6e（3）设点B到平面PCD的距离为d，又AB∥平面PCD

    ∴VA-PCD=VP-ACD，即6ec8aac122bd4f6e

    ∴6ec8aac122bd4f6e  即点B到平面PCD的距离为6ec8aac122bd4f6e。

    19．解：（1）第一和第三次取球对第四次无影响，计第四次摸红球为事件A

    ①第二次摸红球，则第四次摸球时袋中有4红球概率为

    6ec8aac122bd4f6e                                                                            （2分）

    ②第二次摸白球，则第四次摸球时袋中有5红2白，摸红球概率为

    6ec8aac122bd4f6e                                                                           （3分）

    ∴P(A)=6ec8aac122bd4f6e，即第四次恰好摸到红球的概率为6ec8aac122bd4f6e。（6分）（注：无文字说明扣一分）

    （2）由题设可知ξ的所有可能取值为：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=6ec8aac122bd4f6e；

    P（ξ=1）=6ec8aac122bd4f6e；P（ξ=2）=6ec8aac122bd4f6e；

    P（ξ=3）=6ec8aac122bd4f6e。故随机变量ξ的分布列为：

    ξ

    0

    1

    2

    6ec8aac122bd4f6e3

    P

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    ∴Eξ=6ec8aac122bd4f6e（个），故Eξ=6ec8aac122bd4f6e（个）                                          （1

    20.解：（1）6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e

    故数列6ec8aac122bd4f6e是首项为2，公比为2的等比数列。

    6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e…………………………………………4分

    （2）6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e①

    6ec8aac122bd4f6e②

    ②―①得6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e③

    6ec8aac122bd4f6e④

    ④―③得6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e

    所以数列6ec8aac122bd4f6e是等差数列……………………9分

    （3）6ec8aac122bd4f6e………………………………11分

    设6ec8aac122bd4f6e，则6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

    …………13分

    21．解：（1）设6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e.

    整理得AB：bx-ay-ab=0与原点距离6ec8aac122bd4f6e，又6ec8aac122bd4f6e，

    联立上式解得b=1，∴c=2，6ec8aac122bd4f6e.∴双曲线方程为6ec8aac122bd4f6e.

    （2）设C（x1，y1），D（x2，y2）设CD中点M（x0，y0），

    ∴6ec8aac122bd4f6e，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.

    联立直线6ec8aac122bd4f6e与双曲线的方程得6ec8aac122bd4f6e，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且6ec8aac122bd4f6e.

    ∴6ec8aac122bd4f6e ，    6ec8aac122bd4f6e，

    ∴6ec8aac122bd4f6e∴6ec8aac122bd4f6e，∴AM⊥CD.

    ∴6ec8aac122bd4f6e，整理得6ec8aac122bd4f6e，

    则6ec8aac122bd4f6e且k2>0，，代入6ec8aac122bd4f6e中得6ec8aac122bd4f6e.

    ∴6ec8aac122bd4f6e.

    22．解：（1）∵6ec8aac122bd4f6e(x)=3ax2+sinθx-2

    由题设可知：6ec8aac122bd4f6e即6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e∴sinθ=1。（2分）

    从而a=6ec8aac122bd4f6e，∴f(x)=6ec8aac122bd4f6e，而又由f(1)=6ec8aac122bd4f6e得，c=6ec8aac122bd4f6e

    ∴f(x)=6ec8aac122bd4f6e即为所求。                                                     （4分）

    （2）6ec8aac122bd4f6e(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数。

    （i）当m>1时，f(x)在[m，m+3]上递增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)

    由f(m+3)-f(m)=6ec8aac122bd4f6e(m+3)3+6ec8aac122bd4f6e(m+3)2-2(m+3)-6ec8aac122bd4f6e=3m2+12m+6ec8aac122bd4f6e得-5≤m≤1。这与条件矛盾故舍。                                                                        （6分）

    （ii）当0≤m≤1时，f(x)在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增。

    ∴f(x)min=f(1)，f(x)max={f(m)，f(m+3)}max

    又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+6ec8aac122bd4f6e=3(m+2)2-6ec8aac122bd4f6e>0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)

    ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1) ≤f(4)-f(1)=6ec8aac122bd4f6e恒成立

    故当0≤m≤1原式恒成立。                                                                        （8分）

    综上：存在m且m∈[0，1]合乎题意。                                                     （9分）

    （3）∵a1∈(0，16ec8aac122bd4f6e，∴a2∈6ec8aac122bd4f6e，故a2>2

    假设n=k（k≥2，k∈N*）时，ak>2。则ak+1=f(ak)>f(2)=8>2

    故对于一切n（n≥2，n∈N*）均有an>2成立。                                        （11分）

    令g(x)=6ec8aac122bd4f6e

    得6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

    当x∈（0，2）时6ec8aac122bd4f6e(x)<0，x∈（2，+∞）时，6ec8aac122bd4f6e(x)>0，

    ∴g(x)在x∈[2，+∞6ec8aac122bd4f6e时为增函数。

    而g(2)=8-8ln2>0，即当x∈[2，+∞6ec8aac122bd4f6e时，g(x)≥g(2)>0恒成立。

    ∴g(an)>0，（n≥2）也恒成立。即：an+1>8lnan（n≥2）恒成立。

    而当n=1时，a2=8，而8lna1≤0，∴a2>8lna1显然成立。

    综上：对一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。                                 

     

     

     

     

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