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已知数列满足，。
（1）求、、；
（2）是否存在实数t，使得数列是公差为-1的等差数列，若存在求出t的值，否则，请说明理由；
（3）记，数列的前n项和为S_n，求证：。

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若数列{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列；数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C_n，使得b_n+1=a，并求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）设数列{d_n}满足d_n=a_n•b_n，且{d_n}中不存在这样的项d_t，使得“d_k＜d_k-1与d_k＜d_k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N^*），试求实数t的取值范围．

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若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若c_n=是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得数列S_n有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

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一、选择题：

1．D  2．A  3  B  4．D 5．A 6．D 7．B 8．C   9．A  10．B  11.A  12.B

二、填空题：

13．12           14．    15   3           16．，①②③④   

三、解答题：

17．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)与=（0，1）所成的角为

∴与向量=（1，0）所成的角为                                                    

∴，即                                                   （2分）

而B∈（0，π），∴，∴，∴B=。                             （4分）

②令AB=c，BC=a，AC=b

∵B=，∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=，∵a，c>0。             （6分）

∴a²+c²≥，ac≤ （当且仅当a=c时等号成立）

∴12=a²+c²-ac≥                                               （8分）

∴(a+c)²≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（当且仅当a=c时取等号）

故ΔABC的周长的最大值为。                                                           （10分）

法2：（1）cos<，>=cos

∴，                                                                                   （2分）

即2cos²B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B= （4分）

（2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周长为，则=a+c+

而a=b?，c=b?                                      （2分）

∴==

=                                （8分）

∵A∈（0，），∴A-，

当且仅当A=时，。                                         （10分）

 18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

（2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1

∴ΔADC为等边三角形，且AC=1，取AC的中点O，则DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH

由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角

由OH=，DO=，∴tan∠DHO==2

∴二面角D-PC-A的大小的正切值为2。

（3）设点B到平面PCD的距离为d，又AB∥平面PCD

∴V_A-PCD=V_P-ACD，即

∴  即点B到平面PCD的距离为。

19．解：（1）第一和第三次取球对第四次无影响，计第四次摸红球为事件A

①第二次摸红球，则第四次摸球时袋中有4红球概率为

                                                                            （2分）

②第二次摸白球，则第四次摸球时袋中有5红2白，摸红球概率为

                                                                           （3分）

∴P(A)=，即第四次恰好摸到红球的概率为。（6分）（注：无文字说明扣一分）

（2）由题设可知ξ的所有可能取值为：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=；

P（ξ=1）=；P（ξ=2）=；

P（ξ=3）=。故随机变量ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

P

∴Eξ=（个），故Eξ=（个）                                          （1

20.解：（1），

故数列是首项为2，公比为2的等比数列。

，…………………………………………4分

（2），

①

②

②―①得，即③

④

④―③得，即

所以数列是等差数列……………………9分

（3）………………………………11分

设，则

…………13分

21．解：（1）设，.

整理得AB：bx-ay-ab=0与原点距离，又，

联立上式解得b=1，∴c=2，.∴双曲线方程为.

（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）设CD中点M（x₀，y₀），

∴，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.

联立直线与双曲线的方程得，整理得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，且.

∴ ，    ，

∴∴，∴AM⊥CD.

∴，整理得，

则且k²>0，，代入中得.

∴.

22．解：（1）∵(x)=3ax²+sinθx-2

由题设可知：即∴sinθ=1。（2分）

从而a=，∴f(x)=，而又由f(1)=得，c=

∴f(x)=即为所求。                                                     （4分）

（2）(x)=x²+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数。

（i）当m>1时，f(x)在[m，m+3]上递增。故f(x)_max=f(m+3)，f(x)_min=f(m)

由f(m+3)-f(m)=(m+3)³+(m+3)²-2(m+3)-=3m²+12m+得-5≤m≤1。这与条件矛盾故舍。                                                                        （6分）

（ii）当0≤m≤1时，f(x)在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增。

∴f(x)_min=f(1)，f(x)_max={f(m)，f(m+3)}_max

又f(m+3)-f(m)=3m²+12m+=3(m+2)²->0（0≤m≤1），∴f(x)_max=f(m+3)

∴|f(x₁)-f(x₂)| ≤f(x)_max-f(x)_min=f(m+3)-f(1) ≤f(4)-f(1)=恒成立

故当0≤m≤1原式恒成立。                                                                        （8分）

综上：存在m且m∈[0，1]合乎题意。                                                     （9分）

（3）∵a₁∈(0，1，∴a₂∈，故a₂>2

假设n=k（k≥2，k∈N*）时，a_k>2。则a_k+1=f(a_k)>f(2)=8>2

故对于一切n（n≥2，n∈N*）均有a_n>2成立。                                        （11分）

令g(x)=

得=

当x∈（0，2）时(x)<0，x∈（2，+∞）时，(x)>0，

∴g(x)在x∈[2，+∞时为增函数。

而g(2)=8-8ln²>0，即当x∈[2，+∞时，g(x)≥g(2)>0恒成立。

∴g(a_n)>0，（n≥2）也恒成立。即：a_n+1>8lna_n（n≥2）恒成立。

而当n=1时，a₂=8，而8lna₁≤0，∴a₂>8lna₁显然成立。

综上：对一切n∈N*均有a_n+1>8lna_n成立。                                 

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