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（2012•朝阳区一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=

3

，EF=1，BC=

13

，且M是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小；
（Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30°？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．

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如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧（图2）．
（Ⅰ） 设二面角E-AC-D₁的大小为θ，若

π

4

≤θ≤

π

3

，求线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）在线段D₁E上存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求

D1P

PE

与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有

D1P

PE

＜1．

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评分说明：

1.       第一题选择题，选对得分，不选、错选或多选一律得0分.

2.       第二题填空题，不给中间分.

3.       解答与证明题，本答案给出了一种或几种解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.

4.       对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

5.       解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

6.       只给整数分数.

一、选择题

题号

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

答案

C

B

B

D

A

A

C

B

A

C

D

B

二、填空题

题号

(13)

(14)

(15)

(16)

答案

25

-30

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）∵//  ∴………………………1分

              ∴.  即. …………………………3分

              又∵为锐角，∴.  …………………………………………4分

              ∴，∴. …………………………………………………5分

         （Ⅱ）由余弦定理有，解得或

               . ………………………………………………………………………8分

               当时，；当时，

                                              ……………………………………10分

（18）解：（Ⅰ）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品.

               ∴第一天通过检查的概率为. ……………………………5分

         （Ⅱ）同（Ⅰ），第二天通过检查的概率为. …………………9分

               因第一、第二天是否通过检查相互独立， ……………………………10分

               所以，两天全部通过检查的概率为. …………12分

（19）解：（Ⅰ）∵为常数，∴. ………………2分

               ∴.

               又成等比数列，∴，解得或.…4分

               当时，不合题意，舍去. ∴.  …………………6分

         （Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ………………………………………………8分

               ∴ …………10分

               ∴

   …………………………………………12分

（20）解法一：

     （Ⅰ）取的中点，连，则∥，

           ∴或其补角是异面直线与所成的角. ……………………2分

           设，则，

           .

           ∴. ………………………………4分

           ∵在中，. ……5分

           ∴异面直线与所成的角为. ……………………………6分

     （Ⅱ）连结，设是的中点，过点作于，连结，则

           .又∵平面平面

          ∴平面. ………………………………………………………8分

          而  ∴

          ∴是二面角的平面角. …………………………………9分

          由=，=，，得.……………10分

          即二面角为

          ∴所求二面角为. ………………………………12分

解法二：

（Ⅰ）如图分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标

系. ……………………………………………………………………1分

      设，则、、、

      、.  ………………………………………………………2分

      ∴，

      ∴. ………………………5分

      ∴异面直线与所成的角为.  ………………………………………6分

（Ⅱ）由题意知点，设平面的一个法向量为

，

则， ∵，

∴，取，得. ………………8分

易知平面的一个法向量，

      ∴.  …………………………………………11分

      ∴二面角的大小为.  …………………………12分

（21）解：（Ⅰ），  ………………………………………………2分

               依题意，即解得

               ∴ ……………………………………………4分

         （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线与有两个不同的

交点，即在上有两个不同的实数解…5分

设，则， ………7分

由0的或

当时，于是在上递增；

当时，于是在上递减. ………………9分

依题意有. …………………11分

∴实数的取值范围是. …………………………………12分

（22)解：（Ⅰ）设点，由得.  …………2分

              由,得，即.  …………… 4分

              又点在轴的正半轴上，∴.故点的轨迹的方程是

. …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物

线的两个交点,所以直线的斜率不为. ……………………………………7分

      当直线斜率不存在时，得，不合题意； ……8分

      当直线斜率存在且不为时，设，代入得

      ，

      则，解得. …………10分

      代入原方程得，由于，所以，由,

      得，∴. ……………………………………………………12分