[例1]已知函数f(x)=, x∈［1,+∞ (1)当a=时.求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立.试求实数a的取值范围解:(1) 当a=时.f(——青夏教育精英家教网—

[例1]已知函数f(x)=, x∈［1,+∞ (1)当a=时.求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立.试求实数a的取值范围解:(1) 当a=时.f(x)=x++2 ∵f(x)在区间［1.+∞上为增函数. ∴f(x)在区间［1.+∞上的最小值为f(1)= (2)解法一: 在区间［1.+∞上. f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立设y=x2+2x+a, x∈［1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增. ∴当x=1时.ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时.函数f(x)>0恒成立. 故a>-3 ? 解法二:f(x)=x++2, x∈［1,+∞ 当a≥0时.函数f(x)的值恒为正, 当a<0时.函数f(x)递增.故当x=1时.f(x)min=3+a, 当且仅当f(x)min=3+a>0时.函数f(x)>0恒成立.故a>-3 解法分析:(1)中不能用用判别式法求最值, 对也不能用均值不等式求最值.只能用对钩函数的的单调性求最值. (2)中法一转化的很高明.法二是这一类题的一般解法. [例2]某农产品去年各季度的市场价格如下表: 今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m (m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值)收购该种农产品.并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点).计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品.决定将税率降低x个百分点.预测收购量可增加2x个百分点. (1)根据题中条件填空.m= (元/担) 与x的函数关系式, (3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%.试确定x的取值范围. 解:设平方和为y (1) 取最小值时,故应填200. (2)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额200·a(1+2x%),依题意. (3)原计划税收为.依题意.得: , 解得: 答:x的取值范围是0<x≤2. 方法提炼:理清m 的实际意义求出m;建模,解二次不等式. [例3]某校办工厂有毁坏的房屋一幢.留有旧墙一面.其长14m,现准备利用这面旧墙.建造平面图形为矩形.面积为126m2的厂房.工程条件:(1)修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%.(2)用拆去1m旧墙的材料建1m新墙.其费用是建1m新墙费用的50%.(3)建门窗的费用与建新墙的费用相同.问:如何利用旧墙才能使建墙费用最低? 解:设利用旧墙的一面矩形边长为x.则矩形的另一面边长为 (1)利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形的一面长.则修旧墙的费用为.剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为.其余的建新墙的费用为故总费用 ∴当且仅当x=12时.y最小=7a(6-1)=35a (2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14,则修旧墙的费用为.建新墙的费用为.故总费用设上为增函数. ∴当x=14时. 所以.采用第一种方案.利用旧墙12m为矩形的一面边长.使建墙费用最省. 特别提醒: 本题要对厂房一边长<.>14两种方案都作讨论. [例4]某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线.位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救.若救生员在岸边的行进速度为6米/秒.在海中的行进速度2米/秒,在AD上找一落点C.使救生员从A到B的时间最短.并求出最短时间. 解: ,则从A经C到B的时间为t, 因此点C应选沿岸边AD距D点米处,才能使救生员从A经C到B所用的时间最短为秒法二:设∠DBC=α则.用时记,它表示点(cosα,sinα)和(0,3)连线的斜率,结合图形知当连线与圆弧相切时k 最大,t最小,y=ky+3代入y2+y2=1,Δ=0,得, 此时,最小. 解法研讨:法一:以CD长为自变量建模,导数法求最值;法二:以∠DBC为自变量建模,方法更具灵活性. [研讨.欣赏] 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1-污物质量÷物体质量为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a(1≤a≤3). 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是c=, (0.8<c<0.99, x>a-1), 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, (Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 解:(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为与.由题设有.解得由得方案乙初次用水量为3.第二次用水量满足方程 .解得.故即两种方案的用水量分别为19与. 因为当时..即. 故方案乙的用水量较少 (Ⅱ)设初次与第二次清晰的用水量分别为与.类似(Ⅰ)得 (*) 于是当为定值时. 当且仅当时等号成立.此时或将代入(*)式得故时总用水量最少.此时第一次与第二次用水量分别为与.最少总用水量是当时..故是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明.随着的值的增加.最少总用水量增加. 【查看更多】

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