各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），数列{c_n}满足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（3）若数列Pn=

4

3

•(2n-1)(n∈N*)，甲同学利用第（2）问中的T_n，试图确定T_n-P_n的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

已知：二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n（n∈N^*）．
（1）求：f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足

1

an+1

=f'（

1

an

），且a₁=4，求：数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中的数列{a_n}，求证：①

n

k=1

ak＜5；②

4

3

≤

n

k=1

akak+1

＜2．

已知数列{a_n}，且x=

t

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．数列{a_n}中a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=2(1-

1

an

)，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；
（3）若cn=

3nlogtan

3n-1

，证明：

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜

4

3

(n∈N*)．

任何一个自然数N都可以写成的形式，这里的或1，这时就叫做N的二进制数。如，所以43的二进制数为101011。仅含两个1的二进制数中数值最小的四个数是3、5、6、9，它们的二进制数分别是11、101、110、1001。若将只含两个1的所有二进制数按从小到大的顺序排列，设得到的数列为。

（1）若的十进制数N的值小于2050时，数列最多有多少项？为什么？

（2）求数列的第100项及对应的N的值。