已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q.且与x轴.y轴分别交于R.S.求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．例4．给出定点A(a.0)(a＞0)和直线l:x=-1.B是直线l上——青夏教育精英家教网—

已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q.且与x轴.y轴分别交于R.S.求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．例4．给出定点A(a.0)(a＞0)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点.∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程.并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系. ［剖析］由直接法得出曲线的方程.再作进一步化简.并判断曲线的形状. ［解］解法一:依题意.记B(-1.b)(b∈R).则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x.y).则有0≤x＜a.由OC平分∠AOB.知点C到OA.OB距离相等.根据点到直线的距离公式得 |y|= ① 依题设.点C在直线AB上.故有:y=-(x-a) 由x-a≠0.得b=- ② 将②式代入①式得:y2［1+］=［y-］2. 整理得:y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0.则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a), 若y=0.则b=0.∠AOB=π.点C的坐标为(0.0).满足上式. 综上得点C的轨迹方程为:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a). ∵ a≠1.∴(0≤r＜a ③ 由此知.当0＜a＜1时.方程③表示椭圆弧段,当a＞1时.方程③表示双曲线一支的弧段. 解法二:如图.设D是l与x轴的交点.过点C作CE⊥x轴.E是垂足 (Ⅰ)当|BD|≠0时.设点C(x.y). 则0＜x＜a.y≠0. 由CE∥BD.得|BD|=(1+a) ∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∵tan(2∠COA)=.tan(π-∠BOD)=-tanBOD.tanCOA=.tanBOD=(1+a) ∴(1+a)整理得:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a) (Ⅱ)当|BD|=0时.∠BOA=π.则点C的坐标为(0.0).满足上式综合.得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a). ∵ a≠1. ∴(0≤r＜a (*) 由此知.当0＜a＜1时.方程(*)表示椭圆弧段, 当a＞1时.方程(*)表示双曲线一支的弧段. ［警示］本题主要考查了曲线与方程.直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一利用设点法引入参数b.消参数得方程.解法二则利用角之间关系.使用二倍角公式得出等式.化简较简捷.但分析时不容易想. ［变式训练］【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知A、D分别为椭圆E：

=1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=

，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且

PF1

．

PF2

的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
（3）设直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B₁，当R为何值时，|A₁B₁|取最大值？并求最大值．

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已知A、D分别为椭圆E：的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1 ．