Question

已知A、D分别为椭圆E： 的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F_1­、F₂为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（3）设直线l与圆相切于A₁，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B₁，当R为何值时，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

Answer 1

（1）；（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B；（3）1.

本试题主要是考查了椭圆的 方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用并结合了直线与圆的位置关系来考查线段长度的最值问题的运用。
（1）设P (x，y)，F₁ (–c，0)，F₂（c，0），其中
则
看作线段AD上的点P (x，y)到原点距离的平方，
∴P在A点，x² + y²最大，∴a² – c² = 1，
又．………………4分
（2）由（1）知椭圆方程为，
①设圆心在原点的圆的一条切线为y = kx + t，．
解方程组……………5分
要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使
即，………………………………6分

要使
所以5t² – 4k² – 4 = 0，即5t² = 4k² + 4且t²＜4k² + 1，即4k² + 4＜20k² + 5恒成立．
又因为直线y = kx + t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r =……………7分
②当切线的斜率不存在时，切线为满足．
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．                       ……………………8分
（3）设直线l的方程为y = mx + n，因为直线l与圆C：x² + y² = R² (1＜R＜2)相切于A₁，
由（2）知 ①，   因为l与椭圆只有一个公共点B₁，由（2）知有唯一解，
则即4m² – n² + 1 = 0，  ②
由①②得此时A，B重合为B₁ (x₁，y₁)点，由x₁ = x₂，所以B₁ (x₁，y₁)点在椭圆上，所以
，在直角三角形OA₁B₁中，|A₁B₁|² = |OB₁|² – |OA₁|² =
5
因为时取等号，所以
即当时|A₁B₁|取得最大值，最大值为1．………………………………13分