Question

已知椭圆的离心率为，且过点，过的右焦点任作直线，设交于，两点（异于的左、右顶点），再分别过点，作的切线，，记与相交于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：点在一条定直线上.

Answer 1

（1）；（2）.

(1)根据离心率和b，可求出a,c的值.
(2) 解本题的关键是，
=……=
然后借助韦达定理解决即可.
解：（1）由题意，得，，…2分 
又，                  ………4分                
解得，，             ………5分
故椭圆的标准方程为；………6分  
（2）当椭圆上的点在轴上方，即时，，
则，            ………………………8分
再由椭圆的对称性，当点在轴下方，，即时，仍有.
因此椭圆在点的切线的斜率.     …………………10分
①当直线轴时，，，从而切线，的方程分别为
，，则点；   ……………11分
②当直线存在斜率时，设，
由，消去，得，
则，.                             ……………13分
于是，


从而方程可化为，而，所以.

即点的横坐标恒为，这表明点恒在直线上.            ………………15分.