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已知椭圆的右焦点为,点在圆上任意一点(点第一象限内),过点作圆的切线交椭圆于两点
(1)证明:
(2)若椭圆离心率为,求线段长度的最大值.
(1)略(2)2
(1) 设,先利用焦半径公式表示,然后再想法求出|PQ|,也用x1表示出来.相加即可.
(2)根据离心率可求出a值,进而椭圆方程确定,然后设直线的方程为,由直线QR与圆O相切,进而得到,
然后直线与椭圆方程联立,消y之后,表示出,
,,因而确定当且仅当时,取最大值2.
(1)设,得,…………………3分
是圆的切线,
注意到,……………6分
所以.                           ……………7分
(2)由题意,.     …………………………9分
方法一:设直线的方程为在第一象限,
由直线与圆相切,.  …………………………11分
,消
,则
由(1)知,,…14分

当且仅当时,取最大值2,此时直线的方程为,过焦点
方法二:设,则直线的方程为. ……11分
,消

由(1)知,,……14分

当且仅当时,取最大值2,此时,直线过焦点. 
方法三:由(1)同理可求,则,………11分

当且仅当直线过焦点时等号成立,从而
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的离心率为,两焦点之间的距离为4.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点,
(1)求证:OA⊥OB;
(2)设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E,过原点O作直线DE的垂线OM,垂足为M,证明|OM|为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

.(本题满分14分)
已知圆M定点,点为圆上的动点,点上,点上,且满足
(Ⅰ) 求点G的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,设,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点相同,且的离心率,又为椭圆的左右顶点,其上任一点(异于).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交直线于点,过作直线的垂线交轴于点,求的坐标;
(Ⅲ)求点在直线上射影的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若椭圆的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离,则椭圆离心率e的取值范围是           .

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知AD分别为椭圆E的左顶点与上顶点,椭圆的离心率FF2为椭圆的左、右焦点,点P是线段AD上的任一点,且的最大值为1 .
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点AB,且OAOBO为坐标原点),若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;
(3)设直线l与圆相切于A1,且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知直线经过椭圆S:的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆S的方程;
(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
①若直线PA平分线段MN,求k的值;
②对任意,求证:

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆上存在一点P,使得它对两个焦点的张角,则该椭圆的离心率的取值范围是
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如果函数y=|x|-1的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点,则实数的取值范围是
A.B.C.D.

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