[例1]如图所示.已知P(4.0)是圆x2+y2=36内的一点.A.B是圆上两动点.且满足∠APB=90°.求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 解:设AB的中点为R.坐标为(x,y).则在Rt△AB——青夏教育精英家教网—

[例1]如图所示.已知P(4.0)是圆x2+y2=36内的一点.A.B是圆上两动点.且满足∠APB=90°.求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 解:设AB的中点为R.坐标为(x,y).则在Rt△ABP中.|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点.依垂径定理:在Rt△OAR中.|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0 因此点R在一个圆上.而当R在此圆上运动时.Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y).R(x1,y1).因为R是PQ的中点.所以x1=, 代入方程x2+y2-4x-10=0,得 -10=0 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. 技巧与方法:对某些较复杂的探求轨迹方程的问题.可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程.再以此点作为主动点.所求的轨迹上的点为相关点.求得轨迹方程. [例2]某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱.检测一个直径为3 cm的圆柱.为保证质量.有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱.问这两个标准圆柱的直径为多少? 解:设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O.A.B.问题转化为求两等圆P.Q,使它们与⊙O相内切.与⊙A.⊙B相外切. 建立如图所示的坐标系.并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴点P在以A.O为焦点.长轴长2.5的椭圆上.其方程为 =1 ① 同理P也在以O.B为焦点.长轴长为2的椭圆上.其方程为 (x-)2+y2=1 ② 由①.②可解得.∴r= 故所求圆柱的直径为 cm. [例3] 直线L:与圆O:相交于A.B两点.当k变动时.弦AB的中点M的轨迹方程. 错解:易知直线恒过定点P(5,0).再由.得: ∴.整理得: 分析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性.本题中注意到点M应在圆内.故易求得轨迹为圆内的部分.此时. [例4] 已知A.B为两定点.动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程.并注明轨迹是什么曲线. 解:建立坐标系如图所示. 设|AB|=2a,则A(-a,0),B(a,0). 设M(x,y)是轨迹上任意一点. 则由题设.得=λ,坐标代入.得=λ,化简得 (1-λ2)x2+(1-λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1-λ2)a2=0 (1)当λ=1时.即|MA|=|MB|时.点M的轨迹方程是x=0.点M的轨迹是直线(y轴). (2)当λ≠1时.点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0.点M的轨迹是以 (-.0)为圆心.为半径的圆. [例5]若抛物线y=ax2-1上.总存在不同的两点A.B关于直线y+x=0对称.求实数a的取值范围. 分析:若存在A.B关于直线y+x=0对称.A.B必在与直线y+x=0垂直的直线系中某一条与抛物线y=ax2-1相交的直线上.并且A.B的中点M恒在直线y+x=0上. 解:如图所示.设与直线y+x=0垂直的直线系方程为 y=x+b 由得 ax2-x-(b+1)=0 ① 令 △＞0 即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0 整理得 4ab+4a+1＞0 ② 在②的条件下.由①可以得到直线y=x+b.抛物线y=ax2-1的交点A.B的中点M的坐标为 (,+b),要使A.B关于直线y+x=0对称.则中点M应该在直线y+x=0上.所以有 +(+b)=0 ③ 即 b=- 代入②解不等式得 a＞因此.当a＞时.抛物线y=ax2-1上总存在不同的两点A.B关于直线y+x=0对称. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

如图所示，已知P(4，0)是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.