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    设数列的前项和为.若对所有的非零自然数.都有求证:为等差数列. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知数列的前项和为，且 (N*),其中．

    (Ⅰ) 求的通项公式；

    (Ⅱ) 设 (N*).

    ①证明： ；

    ② 求证：.

    【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

    所以利用放缩法，从此得到结论。

    解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

    若存在由得，

    从而有，与矛盾，所以.

    从而由得得.  ……6分

     (Ⅱ)①证明：

    证法一：∵∴

    ∴ 

    ∴.…………10分

    证法二：，下同证法一.           ……10分

    证法三：（利用对偶式）设，，

    则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                        ………10分

    证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

       ②假设时,命题成立,即,

       则当时,

        即

    即

    故当时，命题成立.

    综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

    ②由于，

    所以，

    从而.

    也即

     

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    可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：
    （1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
    （2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
    （3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2011=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

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    可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：
    （1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
    （2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
    （3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2011=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

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    可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：
    （1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
    （2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
    （3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2012=-2011？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

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    （2012•姜堰市模拟）可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：
    （1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
    （2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
    （3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2012=-2011？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

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    一.选择题(每小题5分,共60分)

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    B

    C

    B

    D

    D

    B

    D

    A

    C

    C

    A

    A

    二.填空题(每小题4分,共16分)

    13.     14.    15.     16.  -  

    三、解答题：(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

    17、（本小题满分12分）

    解:由得:

    （3分）

    因为所以   所以  (6分)

    由正弦定理得.      (8分)  从而由余弦定理及得:

        (12分)

    18、（本小题满分12分）

    解：(1)∵这支篮球队与其他各队比赛胜场的事件是相互独立的,

    ∴首次胜场前已负了两场的概率P=(1－)×(1－)×=.   4分

    (2)设A表示这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的事件,则P(A)就是6次独立重复试验中恰好发生3次的概率.∴P(A)=P6(3)=C()3(1－)3=.     8分

    (3)设ξ表示这支篮球队在6场比赛中胜场数,则ξ～B(6,).

    ∴Dξ=6××(1－)=,Eξ=6×=2.

    故这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望是2,方差是.     12分

    19、（本小题满分12分）

    解: （4分）

    ,

      （ 6分）

    当时,当时,,（9分）

    当时,

    当时, （11分）

    综上,

    文本框: 图2 所以，为等差数列.（12分）

    20.(本题?分12分)

    解 （1）如图2，将已知条件实现在长方体中，则直线与平面所成的角为，ks5u直线与平面所成角的为.在直角中，有，故=；在直角中，有，

    故=.               6分

    （2）如图2，作有

                   

    设二面角的平面角为，则             

    得：.                   12分

    21、（本小题满分12分）

    解：因为线段的两端点在抛物线上，故可设，设线段的中点，则            7分

    又，

    所以：                              11分

    所以，线段的中点的轨迹方程为.    12分

    22、（本小题满分14分）

    (1)解:f′(x)=3x2－6ax+b,

    过P1(x1,y1)的切线方程是y－y1=f′(x1)(x－x1)(x1≠0).

    又原点在直线上,所以－(x13－3ax12+bx1)=(－x1)(3x12－6ax1+b),

    解得x1=.       4分

    (2)解:过Pn(xn,yn)的切线方程是y－yn=f′(xn)(x－xn).

    又Pn+1 (xn+1,yn+1)在直线上,

    所以(xn+1－xn)2(xn+1+2xn－3a)=0.由xn≠xn+1,

    解得xn+1+2xn－3a=0.        10分

    (3)证明:由(2)得xn+1－a=－2(xn－a),

    所以数列{xn－a}是首项为x1－a=,公比为－2的等比数列.

    ∴xn=a+?(－2)n-1,

    即xn=［1－(－2)n-2］a.

    当n为正偶数时,xn<a;当n为正奇数时, xn>a.     14分

     

     

     

     


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