解综合题的成败在于审清题目.弄懂来龙去脉.透过给定信息的表象.抓住问题的本质.揭示问题的内在联系和隐含条件.明确解题方向.形成解题策略. [典型例题] 话题1:等差.等比数列的项与和的特征问题例1. 数列的前项和记为(Ⅰ)求的通项公式,(Ⅱ)等差数列的各项为正.其前项和为.且.又成等比数列.求解:(Ⅰ)由可得.两式相减得又 ∴ 故是首项为.公比为的等比数列 ∴ (Ⅱ)设的公比为.由得.可得.可得故可设又由题意可得解得 ∵等差数列的各项为正.∴ ∴ ∴ 例2. 设数列的前项和为.且对任意正整数..(1)求数列的通项公式?(2)设数列的前项和为,对数列.从第几项起? 解:(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n≥2时, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an ∴=.an=2048()n-1. (2) ∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n, ∴Tn=(-n2+23n). 由Tn<-509,解得n>,而n是正整数,于是,n≥46. ∴从第46项起Tn<-509. 例3. 设正项等比数列的首项.前n项和为.且.(Ⅰ)求的通项公式,(Ⅱ)求的前n项和. 解:(Ⅰ)由得即可得因为.所以解得.因而 (Ⅱ)因为是首项.公比的等比数列.故则数列的前n项和前两式相减.得即话题2:等差.等比数列的判定问题. 例4. 已知有穷数列共有2项(整数≥2).首项＝2. 设该数列的前项和为.且＝+2(＝1.2.-.2-1).其中常数＞1. (1)求证:数列是等比数列,(2)若＝2.数列满足＝(＝1.2.-.2).求数列的通项公式, 中的数列满足不等式|-|+|-|+-+|-|+|-|≤4.求的值. (1) 证明:当n=1时,a2=2a,则=a, 2≤n≤2k-1时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列. 得an=2a, ∴a1a2-an=2a=2a=2, bn=. (3)设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<, 当n≥k+1时, bn>. 原式=(-b1)+(-b2)+-+(-bk)+(bk+1-)+-+(b2k-) =(bk+1+-+b2k)-(b1+-+bk) ==. 当≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2, ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立. 例5. 已知数列中.是其前项和.并且.⑴设数列.求证:数列是等比数列,⑵设数列.求证:数列是等差数列,⑶求数列的通项公式及前项和. 分析:由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关.{a}中又有S=4a+2.可由S-S作切入点探索解题的途径. [注2]本题立意与2007年高考题文科20题结构相似. 解:(1)由S=4a.S=4a+2.两式相减.得S-S=4(a-a).即a=4a-4a. (根据b的构造.如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键.注意加强恒等变形能力的训练) a-2a=2(a-2a).又b=a-2a.所以b=2b ① 已知S=4a+2.a=1.a+a=4a+2.解得a=5.b=a-2a=3 ② 由①和②得.数列{b}是首项为3.公比为2的等比数列.故b=3·2. 当n≥2时.S=4a+2=2+2,当n=1时.S=a=1也适合上式. 综上可知.所求的前n项和为S=2+2. 说明:1. 本例主要复习用等差.等比数列的定义证明一个数列为等差.等比数列.求数列的通项公式与前项和.解决本题的关键在于由条件得出递推公式. 【查看更多】

在实数范围内解不等式：5^x≥4^x+1．并利用解此题的方法证明：3^x+4^x=5^x有唯一解．

在一次数学竞赛中，共出甲、乙、丙三题，在所有25个参赛的学生中，每个学生至少解出一题；在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的两倍；只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1；只解一题的学生中，有一半没有解出甲题．问共有多少学生只解出乙题？

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