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    3．要掌握对数列各项的同加.同减.同乘以某一个不等于零的数的变形方法.将其转化为常见的一些数列． 几项． [例4] 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式.求数列的通项公式． (1)Sn＝2n2-3n (2)Sn＝n2+1 (3)Sn＝2n+3 (4)Sn＝(-1)n+1·n 解 (1)当n=1时.a1=S1＝-1, 当n≥2时.an＝Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]＝4n-5.由于a1也适合此等式.因此an=4n-5． (2)当n＝1时.a1＝S1=1+1＝2, 当n≥2时.an＝Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]＝2n-1.由于a1不适合于此等式. (3)当n＝1时.a1=S1＝2+3=5, 当n≥2时.an=Sn-Sn-1＝2n+3-(2n-1+3)＝2n-1.由于a1不适合于此等式. (4)当n＝1时.a1＝S1=(-1)2·1=1, 当n≥2时.an＝Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·n+1.由于a1也适可于此等式.因此an＝(-1)n+1.n∈N*． 说明 已知Sn求an时.要先分n＝1和n≥2两种情况分别进行计算.然后验证能否统一． (1)写出数列的前5项, (2)求an． 小题中前5项不难求出． [例6] 数列{an}中.a1＝1.对所有的n≥2.都有a1·a2·a3·-·an＝n2． (1)求a3+a5, 解 由已知:a1·a2·a3·-·an＝n2得 说明 (1)“知和求差 .“知积求商 是数列中常用的基本方法． (2)运用方程思想求n.若n∈N*.则n是此数列中的项.反之.则不是此数列中的项． [例7] 已知数an=(a2-1)(n3-2n)是递增数列.试确定a的取值范围． 解法一 ∵数列{an}是递增数列.∴an+1＞an an+1-an＝(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)]-(a2-1)(n3-2n) ＝(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)-n3+2n] ＝(a2-1)(3n2+3n-1) ∵(a2-1)(3n2+3n-1)＞0 又∵n∈N*.∴3n2+3n-1=3n(n+1)-1＞0 ∴a2-1＞0.解得a＜-1或a＞1． 解法二 ∵{an}是递增数列.∴a1＜a2即: (a2-1)(1-2)＜(a2-1)(8-4) 化简得 a2-1＞0 ∴a＜-1或a＞1 说明 本题从函数的观点出发.利用递增数列这一已知条件.将求取值范围的问题转化为解不等式的问题 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列（其中an＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和．
    （1）比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；
    （2）若数列{an}的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求数列{an}的k方数列通项公式．
    （3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{an}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程．

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    （2012•安徽模拟）已知等差数列{an}的前n项之和为Sn，且
    a4
    S4
    =
    2
    5
    ，S6-S3=15    ．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若数列{bn}满足对任意的正整数m，n都有bm+n=bmbn，且b1=
    1
    2
    ．对数列{anbn}的前n项和Tn．

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    设数列{an}满足：a1=a，an+1=
    2an
    an+1
    (n∈N*    ）．
    （1）若数列{an}是无穷常数列，求a的值；
    （2）当a∈（0，1）时，对数列{an}的任意相邻三项an，an+1，an+2，证明：
    an
    (1-
    a
    2
    n
    )    2
    +
    a
    2
    n+1
    (1-
    a
    3
    n+1
    )    2
    +
    a
    3
    n+2
    (1-
    a
    4
    n+2
    )    2
    ＜
    1
    (1-an+2)2
    ．

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    （理）已知等比数列{an}中，a1=1，公比为q，且该数列各项的和为S，前n项和为sn．若
    lim
    n→∞
    (sn-as)=q    ，则实数a的取值范围是（　　）

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    我们可以利用数列{an}的递推公式an=
    n，n为奇数时
    a
    n
    2
    ，n为偶数时
    （n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25=
     
    ；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第
     
    项．

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