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设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．

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设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．

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一、填空题

1．；2．-1；3．48；4．；5．１；6．a；7．；

8．；9．；10．4；11．160；12．；13．；14．．

二、解答题

15．证明：（Ⅰ）

因为平面PBC与平面PAD的交线为

所以

（Ⅱ）在中，由题设可得

于是

在矩形中，.又，

所以平面　　　又

即平面PBC与平面PAD所成二面角的一个平面角　

在中　　

所以平面PBC与平面PAD所成二面角的大小为．

16．解：(Ⅰ)

          ……2分

由题意得，，得，

当时，最小正整数的值为2，故．        ……6分

(Ⅱ)因 且   

则  当且仅当，时，等号成立

则，又因，则 ，即 ……10分

由①知：

因 ，则  ，

，故函数的值域为．                   ……14分

17．解：（Ⅰ）

当时，g(x)=f(x)-f(x-1)

当x=1时，g(x)=g(1)也适合上式

又

等号当且仅当x=12-x即x=6时成立，即当x=6时，（万件）

∴6月份该商品的需求量最大，最大需求量为万件。

（Ⅱ）依题意，对一切，有

令

答每个月至少投入万件可以保证每个月都足量供应。

18．解：(Ⅰ)  由（x－12）²+y²=144－a(a<144),可知圆心M的坐标为(12，0)，

依题意，∠ABM=∠BAM=，k_AB= , 设MA、MB的斜率k.

则且,  解得=2，=－ ．

∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．

(Ⅱ) 设MB、MA的倾斜角分别为θ₁，θ₂，则tanθ₁＝2，tanθ₂＝－，

设圆半径为r，则A（12＋），B（12－，），

再设抛物线方程为y²＝2px (p＞0)，由于A，B两点在抛物线上，

∴ ∴ r=4，p=2．

得抛物线方程为y²＝4x。

19．解:（Ⅰ）设数列的公差为，由

    , ,解得，=3

    ∴

    ∵  ∴S_n==

(Ⅱ)  

∴

∴

(Ⅲ)由(2)知，

  ∴，

  ∵成等比数列

 ∴       即

当时，7，=1，不合题意；

当时，，=16，符合题意；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列。

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列。

20．解:（Ⅰ）假设①，其中偶函数，为奇函数，则有，即②，

由①②解得，.

∵定义在R上，∴，都定义在R上.

∵，.

∴是偶函数，是奇函数，

∵，

∴，

.  

由，则，

平方得，∴，

∴.                    …………6分

（Ⅱ）∵关于单调递增，∴.

∴对于恒成立，

∴对于恒成立，

令，则，

∵，∴，故在上单调递减，

∴，∴为m的取值范围. …………10分

（Ⅲ）由（1）得，

若无实根，即①无实根，    

方程①的判别式.

1°当方程①的判别式，即时，

方程①无实根.                            ……………12分

2°当方程①的判别式，即时，

方程①有两个实根，

即②，

只要方程②无实根，故其判别式，

即得③，且④，

∵，③恒成立，由④解得，

∴③④同时成立得．

综上，m的取值范围为.           ……………16分

三、附加题

21A．（1）∵DE²=EF?EC，∴DE : CE=EF: ED．

          ∵ÐDEF是公共角，

          ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

          ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

          ∴ÐP=ÐEDF．

（2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

     ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

     ∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．

21B．解（Ⅰ）由条件得矩阵，

它的特征值为和，对应的特征向量为及；

（Ⅱ），

椭圆在的作用下的新曲线的方程为．

21C．解：（Ⅰ）x²＋y²－4x－4y＋6＝0；                    

（Ⅱ）x＋y＝4＋2sin（）  最大值6，最小值2 ． 

21D．证明：

当且仅当时，等号成立．

22．解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人．

 (I)∵，

∴．即．

∴．

∴x=2．           故文娱队共有5人．

(II) ，，

的概率分布列为

0

1

2

P

∴ =1．

23．解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）．