已知函数f（x）的定义域为R，并满足（1）对于一切实数x，都有f（x）＞0；（2）对任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y；（3）f（

1

3

）＞1；利用以上信息求解下列问题：
（1）求f（0）；
（2）证明f（1）＞1且f（x）=[f（1）]^x；
（3）若f（3^x）-f（9^x-3^x+1-2k）＞0对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数k的取值范围．

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：
①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
②f(1)=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)成立．
解答下列问题：
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)函数g(x)=2^x-1在[0，1]上是否同时满足①②③？
(Ⅲ)假定存在x₀∈[0，1]，使得f(x₀)∈[0，1]且f[f(x₀)]=x₀，求证：f(x₀)=x₀。