Question

已知函数f（x）的定义域为R，并满足（1）对于一切实数x，都有f（x）＞0；（2）对任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y；（3）f（

1

3

）＞1；利用以上信息求解下列问题：
（1）求f（0）；
（2）证明f（1）＞1且f（x）=[f（1）]^x；
（3）若f（3^x）-f（9^x-3^x+1-2k）＞0对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用所给条件（1）（2）即可得出；
（2）令x=

1

3

，y=3，代入条件（2），再利用（3）即可得出．对任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y；分别取x=1之后，再令y=x即可．
（3）利用（2）的结论可得：f（x）=[f（1）]^x是R上的增函数，即可得出3^x＞9^x-3^x+1-2k对x∈[0，1]恒成立．通过分离参数可得2k＞9^x-4×3^x对x∈[0，1]恒成立．利用二次函数的单调性即可得出．

解答：（1）解：令x=y=0，∵f（0）＞0，
∴f（0）=f（0×0）=[f（0）]⁰=1．
（2）证明：∵f（1）=f(

1

3

×3)=[f(

1

3

)]3，
∵f(

1

3

)＞1，∴f（1）＞1．
∵对任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y；
令x=1，则f（y）=[f（1）]^y，
再令y=x，则f（x）=[f（1）]^x．
（3）解：∵f（1）＞1，∴f（x）=[f（1）]^x是R上的增函数，
∵f（3^x）-f（9^x-3^x+1-2k）＞0对任意的x∈[0，1]恒成立，
∴3^x＞9^x-3^x+1-2k对x∈[0，1]恒成立．
即2k＞9^x-4×3^x对x∈[0，1]恒成立．
令g（x）=9^x-4×3^x=（3^x）²-4×3^x=（3^x-2）²-4在[0，1]上单调递减，
∴g（x）_max=g（0）=-3．∴2k＞-3．
∴k∈(-

3

2

，+∞)．

点评：正确理解和应用新定义、函数的单调性、指数函数的单调性等是解题的关键．