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    已知函数f（x）的定义域为R，并满足（1）对于一切实数x，都有f（x）＞0；（2）对任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]y；（3）f（数学公式）＞1；利用以上信息求解下列问题：
    （1）求f（0）；
    （2）证明f（1）＞1且f（x）=[f（1）]x；
    （3）若f（3x）-f（9x-3x+1-2k）＞0对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数k的取值范围．

    （1）解：令x=y=0，∵f（0）＞0，
    ∴f（0）=f（0×0）=[f（0）]0=1．
    （2）证明：∵f（1）=，
    ∵，∴f（1）＞1．
    ∵对任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]y；
    令x=1，则f（y）=[f（1）]y，
    再令y=x，则f（x）=[f（1）]x．
    （3）解：∵f（1）＞1，∴f（x）=[f（1）]x是R上的增函数，
    ∵f（3x）-f（9x-3x+1-2k）＞0对任意的x∈[0，1]恒成立，
    ∴3x＞9x-3x+1-2k对x∈[0，1]恒成立．
    即2k＞9x-4×3x对x∈[0，1]恒成立．
    令g（x）=9x-4×3x=（3x）2-4×3x=（3x-2）2-4在[0，1]上单调递减，
    ∴g（x）max=g（0）=-3．∴2k＞-3．
    ∴．
    分析：（1）利用所给条件（1）（2）即可得出；
    （2）令x=，y=3，代入条件（2），再利用（3）即可得出．对任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]y；分别取x=1之后，再令y=x即可．
    （3）利用（2）的结论可得：f（x）=[f（1）]x是R上的增函数，即可得出3x＞9x-3x+1-2k对x∈[0，1]恒成立．通过分离参数可得2k＞9x-4×3x对x∈[0，1]恒成立．利用二次函数的单调性即可得出．
    点评：正确理解和应用新定义、函数的单调性、指数函数的单调性等是解题的关键．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P满足2
    OP
    =
    OM
    +
    ON
    （O为坐标原点）．
    （Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
    （Ⅱ）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
    （Ⅲ）已知an=
    1
    6
    ，                          n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法正确的有（　　）个．
    ①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
    ②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
    ③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
    ④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=
    n
    i=1
    f(ξi)△x    中ξi的选取是任意的，且In仅于n有关．
    ⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（2x-
    π
    6
    ），g（x）=sin（2x+
    π
    3
    ），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．
    （i）求函数f（x）的单调区间；
    （ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，S2．则
    S1S2
    为定值；
    （Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3-ax+b存在极值点．
    （1）求a的取值范围；
    （2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
    （ⅰ）证明：a=b；
    （ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

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