已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C₁上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，

1

7

）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在坐标原点O，C₁和C₂有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当C₂的准线与C₁右准线间的距离为15时，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，交C₂于M，N两点．当|MN|=8时，求|PQ|的值．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点（0，1），过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于A，C两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离为

2 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F的另一直线交椭圆于B，D两点，且AC⊥BD，当四边形ABCD的面积S=

16

9

时，求直线L的方程．

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀）（a为常数）．
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），若

BM

=λ

MA

，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当λ=1，k₁＜0时，若P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围．

直线l：y=k（x-1）过已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．