（2009•崇明县二模）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，-

2

），且其右焦点到直线y-x-2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（

1

2

，0），求证点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）根据解决问题（2）的经验与体会，请运用类比、推广等思想方法，提出一个与“相关弦”有关的具有研究价值的结论，并加以解决．（本小题将根据所提出问题的层次性给予不同的分值）

老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式

OP

=

OA

+λ(

AB cosC

| AB |

+

AC cosB

| AC |

)，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为

OP

=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）

（2008•崇明县一模）已知：函数f_n（x）（n∈N^*）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），其中f1(x)=x+1+

1

x

，并且当n＞1且n∈N^*时，满足fn(x)-fn-1(x)=xn+

1

xn

．
（1）求函数f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）当n=1，2，3时，分别研究函数f_n（x）的单调性与值域；
（3）借助（2）的研究过程或研究结论，提出一个类似（2）的研究问题，并写出问题的研究过程与研究结论．
【第（3）小题将根据你所提出问题的质量，以及解决所提出问题的情况进行分层评分】