（2013•汕头一模）数列{a_n}的前n项和为S_n，存在常数A，B，C，使得a_n+S_n=An²+Bn+C对任意正整数n都成立．
（1）若A=-

1

2

，B=-

3

2

，C=1，设b_n=a_n+n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）在（1）的条件下，c_n=（2n+1）b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜5；
（3）若C=0，{a_n}是首项为1的等差数列，若λ+n≤

n

i=1

1+ 2 a 2 i + 1 a 2 i+1

对任意的正整数n都成立，求实数λ的取值范围（注：

n

i=1

xi=x₁+x₂+…+x_n）

已知等比数列{a_n} 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意正整数n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）在数列{b_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，…，组成一个新数列 {c_n}，求数列 {c_n}的前n项和T_n；
（3）对（1）（2）中的S_n、T_n，当n≥3时，比较T_n与S_n的大小．

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）．f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当k为偶数时，正项数列{a_n}满足：a1=1，anf′(an)=

a

2 n+1

-3．证明：数列{

a

2 n

}中任意不同三项不能构成等差数列；
（2）当k为奇数时，证明：当x＞0时，对任意正整数n都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（x）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．