Question

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）．f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当k为偶数时，正项数列{a_n}满足：a1=1，anf′(an)=

a

2 n+1

-3．证明：数列{

a

2 n

}中任意不同三项不能构成等差数列；
（2）当k为奇数时，证明：当x＞0时，对任意正整数n都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（x）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

Answer 1

分析：（1）当k为偶数时，由已知anf′(an)=

a

2 n+1

-3，得出2（an2-1）=an+12-3，整理构造得出数列{an2+1}是以2为公比，以a12+1=2为首项的等比数列，求出an2=2ⁿ-1，假设数列{

a

2 n

}中存在不同三项ar2，as2at2构成等差数列，不妨设r＜s＜t，则2as2=ar2+at2①，考察①是否有解，作出解答．
（2）当k为奇数时，原不等式化为2n (x+

1

x

)n-2^n-1•2（xn+

1

xn

）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．可以利用二项式定理，结合倒序相加法，基本不等式进行证明，或者用数学归纳法证明．

解答：证明：（1）当k为偶数时，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，f′（a_n）=

2(an2-1)

an

由已知，得出2（an2-1）=an+12-3，
∴an+12+1=2（an2+1），数列{an2+1}是以2为公比，以a12+1=2为首项的等比数列．
∴an2+1=2•2^n-1=2ⁿ，an2=2ⁿ-1，
假设数列{

a

2 n

}中存在不同三项ar2，as2at2构成等差数列，不妨设r＜s＜t，则2as2=ar2+at2，即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，2^s+1=2^r+2^t，2^s-r+1=1+2^t-r
又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1为偶数，1+2^t-r为奇数，矛盾．故假设不成立．因此数列{

a

2 n

}中任意不同三项不能构成等差数列．
（2）当k为奇数时，f（x）=x²+2lnx，f′（x）=2x+

2

x

=2（x+

1

x

），即证2n (x+

1

x

)n-2^n-1•2（xn+

1

xn

）≥2ⁿ（2ⁿ-2）
即证(x+

1

x

)n-（xn+

1

xn

）≥2ⁿ-2．
证法一：由二项式定理，即证

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+

C

3 n

xn-6+…

C

n-1 n

x2-n≥2ⁿ-2
设S_n=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+

C

3 n

xn-6+…

C

n-1 n

x2-n，
又S_n=

C

n-1 n

x2-n+

C

n-2 n

x4-n+…+

C

2 n

xn-4+

C

1 n

xn-2．
两式相加，得出2S_n=

C

1 n

(xn-2+ x2-n)+

C

2 n

(xn-4+ x4-n)+…+

C

n-1 n

(x2-n+ xn-2)
≥2（

C

1 n

+ 

C

2 n

+…

C

n-1 n

）=2（2ⁿ-2）．
∴S_n^≥2ⁿ-2．
证法二：数学归纳法
当n=1时，左边=0，右边=0，不等式成立．
设当n=k（k≥1）时成立．即(x+

1

x

)k-（xk+

1

xk

）≥2^k-2成立，
则当n=k+1时，(x+

1

x

)k+1-（xk+1+

1

xk+1

）=(x+

1

x

)k•(x+

1

x

) -（xk+1+

1

xk+1

）
≥[（2^k-2）+（xk+

1

xk

）]•(x+

1

x

) -（xk+1+

1

xk+1

）
=（2^k-2）•(x+

1

x

) +xk+1+

1

xk+1

+x^k-1+

1

xk-1

-（xk+1+

1

xk+1

）
=（2^k-2）•(x+

1

x

) +x^k-1+

1

xk-1

≥（2^k-2）•2+2
=2^k+1-2
即当n=k+1时不等式成立．
综上所述，对任意正整数n不等式成立．

点评：本题是函数、数列、不等式的综合．考查数列通项公式求解，不定方程解的讨论，不等式的证明方法．用到了构造转化、基本不等式、数学归纳法等知识方法．运算量较大，是容易出错的地方．