已知以动点P为圆心的圆与直线y=-相切，且与圆x²+（y-）²=外切．
（Ⅰ）求动P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若M（m，m₁），N（n，n₁）是C上不同两点，且 m²+n²=1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．
（1）求直线L斜率k的取值范围；
（2）设椭圆E的方程为+=1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若=0，求E离心率的范围．

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难点磁场

证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1.

∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0

f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0

∴线段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.

歼灭难点训练

一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(10²⁰⁰¹，10²⁰⁰⁰）及C(10²⁰⁰²，10²⁰⁰¹）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，∴k_AB＞k_AC,即M＞N.

答案：A

2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则

点(x,y）应在如右图所示区域内

当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；

当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;

当x=5时，y=7,8,9,10,11.

以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.

答案：C

二、3.解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.

答案：P(5，6）

4.解析：光线l所在的直线与圆x²+y²－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切.

答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0

5.解析：f(θ)=表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率.

答案：  0

6.解析：原不等式变为(x²－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x²－1)m+1－2x,－2≤m≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.

答案：

三、7.(1)证明：设A、B的横坐标分别为x₁、x₂，由题设知x₁＞1,x₂＞1,?

点A(x₁,log₈x₁),B(x₂,log₈x₂).

因为A、B在过点O的直线上，所以,又点C、D的坐标分别为(x₁,log₂x₁）、(x₂,log₂x₂).

由于log₂x₁=3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂,则

由此得k_OC=k_OD,即O、C、D在同一直线上.

(2)解：由BC平行于x轴，有log₂x₁=log₈x₂,又log₂x₁=3log₈x₁

∴x₂=x₁³

将其代入,得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,

由于x₁＞1知log₈x₁≠0,故x₁³=3x₁x₂=,于是A(，log₈).

9.(1)证明：由条件，得a₁=S₁=a,当n≥2时，

有a_n=S_n－S_n－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.

因此，当n≥2时，有a_n－a_n－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.

所以{a_n}是以a为首项，2b为公差的等差数列.

(2)证明：∵b≠0,对于n≥2,有

∴所有的点P_n(a_n,－1)(n=1,2,…)都落在通过P₁(a,a－1)且以为斜率的直线上.此直线方程为y－(a－1)=  (x－a),即x－2y+a－2=0.

(3)解：当a=1,b=时，P_n的坐标为(n,),使P₁(1,0)、P₂(2, )、P₃(3,1)都落在圆C外的条件是

由不等式①,得r≠1

由不等式②，得r＜－或r＞+

由不等式③，得r＜4－或r＞4+

再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+

故使P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞).