（2009•闸北区二模）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．一般来说，在空间直角坐标系O-xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．
（Ⅰ）在直角坐标系O-xyz中，求到定点M₀（0，2，-1）的距离为3的动点P的轨迹（球面）方程；
（Ⅱ）如图，设空间有一定点F到一定平面α的距离为常数p＞0，即|FM|=2，定义曲面C为到定点F与到定平面α的距离相等（|PF|=|PN|）的动点P的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系O-xyz，求曲面C的方程；  
（Ⅲ）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面C的几何性质．并在图中通过画出曲面C与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必要）表示曲面C的大致图形．画交线时，请用虚线表示被曲面C自身遮挡部分．

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（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

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（2011•江苏二模）选答题：本大题共四小题，请从这4题中选作2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A、选修4-1：
几何证明选讲．如图，圆O的直径AB=4，C为圆周上一点，BC=2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆O交于点D，E，求∠DAC的度数与线段AE的长．
B、选修4-2：矩阵变换
求圆C：x²+y²=4在矩阵A=[

2 0 0 1

]的变换作用下的曲线方程．
C、选修4-4：坐标系与参数方程
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2sinθ，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．
D、选修4-5：不等式选讲
已知a、b、c为正数，且满足acos²θ+bsin²θ＜c．求证：

a

cos²θ+

b

sin²θ＜

c

．

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难点磁场

解：由方程组消去y,整理得(a²+b²)x²－2a²x+a²(1－b²)=0                      ①

则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a²+b²)x²－2a²x+a²(1－b²),则有

同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分：

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).

直线AC所在方程为x－3y+2=0,

点B到该直线的距离为d=.

∵m∈(1,4),∴当时，S_△ABC有最大值，此时m=.

答案：B

2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆x²+y²=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值.

答案：C

二、3.解析：设椭圆方程为=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x²－ax+y²=0,两式联立消y得x²－ax+b²=0.即e²x²－ax+b²=0,该方程有一解x₂,一解为a,由韦达定理x₂=－a,0＜x₂＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.

答案：＜e＜1

4.解析：由题意可设抛物线方程为x²=－ay,当x=时，y=－；当x=0.8时，y=－.由题意知≥3,即a²－12a－2.56≥0.解得a的最小整数为13.

答案：13

5.解析：设P(t,t²－1)，Q(s,s²－1)

∵BP⊥PQ,∴=－1,

即t²+(s－1)t－s+1=0

∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)²+4(s－1)≥0.即s²+2s－3≥0,

解得s≤－3或s≥1.

答案：(－∞,－3∪1,+∞)

三、6.解：设A(x₁,y₁）,B(x₂,y₂).

由,得(1－k²）x²+2kx－2=0,

又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，

故有

解得－＜k＜－1

7.解：由抛物线y²=4x,得焦点F(1,0),准线l：x=－1.

(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)²+(2y)²=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y²=x－1(x＞1).

(2)设Q(x,y),则|MQ|=?

(?)当m－≤1,即m≤时，函数t=[x－(m－)²]+m－在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值.

(?)当m－＞1,即m＞时，函数t=[x²－(m－)²]+m－在x=m－处有最小值m－,∴|MQ|_min=.

8.解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.

∴曲线C的方程为+y²=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0.

Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞.由图可知=λ

由韦达定理得

将x₁=λx₂代入得

两式相除得

                             ①

M在D、N中间，∴λ＜1                                                             ②

又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合).