Question

（2009•闸北区二模）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．一般来说，在空间直角坐标系O-xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．
（Ⅰ）在直角坐标系O-xyz中，求到定点M₀（0，2，-1）的距离为3的动点P的轨迹（球面）方程；
（Ⅱ）如图，设空间有一定点F到一定平面α的距离为常数p＞0，即|FM|=2，定义曲面C为到定点F与到定平面α的距离相等（|PF|=|PN|）的动点P的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系O-xyz，求曲面C的方程；  
（Ⅲ）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面C的几何性质．并在图中通过画出曲面C与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必要）表示曲面C的大致图形．画交线时，请用虚线表示被曲面C自身遮挡部分．

Answer 1

分析：（I）设动点P的坐标为（x，y，z），动点P满足|PM₀|=3，根据空间两点的距离公式建立等式关系，化简即可得到点P的轨迹方程；
（II）设动点P（x，y，z），则|PF|=|PN|，根据根据空间两点的距离公式建立等式关系，化简即可得到曲面C的方程；
（III）先研究曲面C的对称性，范围和顶点等性质，然后根据曲面的性质画出图形即可．

解答：解：（Ⅰ）动点P的轨迹是以M₀为原点，以3为半径的球面
并设动点P的坐标为（x，y，z），动点P满足|PM₀|=3．
则球面的方程为x²+（y-2）²+（z+1）²=9．
（Ⅱ）设动点P（x，y，z），则|PF|=|PN|
所以

x2+y2+(z- p 2 )2

=|z+

p

2

|
整理得曲面C的方程：x²+y²=2pz      （*）
若坐标系原点建在平面α上的点M处，可得曲面C的方程：x2+y2=2p(z-

p

2

)同样得分．
（Ⅲ）（1）对称性：由于P（x，y，z）点关于xOz平面的对称点（x，-y，z）、关于yOz平面的对称点（-x，y，z）均满足方程（*），所以曲面C关于xOz平面与yOz平面对称．
又由于P（x，y，z）点关于z轴的对称点（-x，-y，z）满足方程（*），所以曲面C关于z轴对称．
（2）范围：由于x²+y²≥0，所以，z≥0，即曲面C在xOy平面上方．
（3）顶点：令z=0，得x=y=0，即坐标原点在曲面C上，O点是曲面C的顶点．  

点评：本题主要考查了空间两点的距离公式，以及空间点的轨迹问题和研究曲面性质画图，属于中档题．