如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为4（

2

+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点F，抛物线：x2=4

3

y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点N(

5

2

，0)．

如图，过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，
点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点，OP∥AB．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过右焦点F₂作一条弦QR，使QR⊥AB．若△F₁QR的面积为20

3

，求椭圆的方程．