题目列表(包括答案和解析)
已知函数
.(
)
(1)若
在区间
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若在区间
上,函数
的图象恒在曲线
下方,求
的取值范围.
【解析】第一问中,首先利用
在区间
上单调递增,则
在区间
上恒成立,然后分离参数法得到
,进而得到范围;第二问中,在区间
上,函数
的图象恒在曲线
下方等价于
在区间
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)
在区间
上单调递增,
则
在区间
上恒成立. …………3分
即
,而当
时,
,故
.
…………5分
所以
.
…………6分
(2)令
,定义域为
.
在区间
上,函数
的图象恒在曲线
下方等价于
在区间
上恒成立.
∵
…………9分
① 若
,令
,得极值点
,
,
当
,即
时,在(
,+∞)上有
,此时
在区间
上是增函数,并且在该区间上有
,不合题意;
当
,即
时,同理可知,
在区间
上递增,
有
,也不合题意;
…………11分
② 若
,则有
,此时在区间
上恒有
,从而
在区间
上是减函数;
要使
在此区间上恒成立,只须满足![]()
,
由此求得
的范围是
. …………13分
综合①②可知,当
时,函数
的图象恒在直线
下方.
已知点
为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点![]()
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(I)求曲线
的方程;
(II)试证明:在
轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
【解析】第一问中设
为曲线
上的任意一点,则点
在圆
上,
∴
,曲线
的方程为![]()
第二问中,设点
的坐标为
,直线
的方程为
, ………………3分
代入曲线
的方程
,可得 ![]()
∵
,∴![]()
确定结论直线
与曲线
总有两个公共点.
然后设点
,
的坐标分别
,
,则
,
要使
被
轴平分,只要
得到。
(1)设
为曲线
上的任意一点,则点
在圆
上,
∴
,曲线
的方程为
. ………………2分
(2)设点
的坐标为
,直线
的方程为
, ………………3分
代入曲线
的方程
,可得
,……5分
∵
,∴
,
∴直线
与曲线
总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆
的内部得到此结论)
………………6分
设点
,
的坐标分别
,
,则
,
要使
被
轴平分,只要
,
………………9分
即
,
, ………………10分
也就是
,
,
即
,即只要
………………12分
当
时,(*)对任意的s都成立,从而
总能被
轴平分.
所以在x轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
继萨凯里之后,大概又过了半个世纪.欧洲“数学之王”高斯的至友匈牙利数学家伏尔夫刚·鲍里埃,终身从事证明“第五公设”的研究,由于心血耗尽,毫无成效,便怀着沉重的心情,给那酷爱数学的儿子亚诺什·鲍耶(1802~1860)写信,希望小鲍耶“不要再做克服平行公理的尝试”.他忠告儿子说:“投身于这一贪得无度地吞人们的智慧、精力和心血的无底洞,白花时间在上面,一辈子也证不出这个命题来.”他满腹心酸地写到:“我经过了这个毫无希望的夜的黑暗,我在这里面埋没了人生的一切亮光、一切欢乐和一切希望.”最后告诫自己心爱的儿子说:“若再痴恋这一无止无休的劳作,必然会剥夺你生活的一切时间、健康、休息和幸福!”但是,年仅21岁的小鲍耶却是敢向“无底洞”觅求真知的探索者.他认真吸取前人失败的教训,初出茅庐就大显身手.小鲍耶匠心独运,大胆创新,决然将“第五公设”换成他自身的否定.从“三角形三个内角和小于180°”这一令人瞠目结舌的假设出发,建立起一套完整协调、天衣无缝的新几何体系.小鲍耶满怀激情地将自己的科学创见向父亲报捷.老伏尔夫刚以之见教于至友高斯,不久,高斯复信鲍里埃,信中写到:“如果我一开始便说我不能称赞这样的成果,你一定会感到惊讶.但是,我不能不这样说,因为称赞这些成果就等于称赞我自己.令郎的这些工作,他走过的路,以及所获得的成果,跟我过去30年至35年前的所思所得几乎一模一样.”高斯在回信结尾还开诚布公地提到:“我自己的著作,尽管写好的只是一部分,我本来也想发表,因为我怕引某些人的喊声,现在,有了朋友的儿子能够这样写下来,免得他与我一样湮没,那是使我非常高兴的.”这位当代数学大师恐怕做梦也没想到,他这封推心置腹的信,竟会一举撞毁初露锋芒的数坛新星!
高斯的复信给小鲍耶带来意想不到的毁灭性打击.踌躇满志的鲍耶误认为高斯动用自己拥有的崇高权威来垄断和夺取这一新体系的发明优先权.为此,他痛心疾首,认为自己心血浇灌出来的成果和呕心沥血的辛勤工作,竟得不到大家的理解、支持和同情.于是郁郁寡欢,大失所望,发誓抛弃了一切数学研究.
1.对于“数学之王”高斯给鲍耶的回信,你有什么看法呢?如果你是高斯,你该怎样回信?
2.踌躇满志的鲍耶误认为“高斯动用自己拥有的崇高权威来垄断和夺取这一新体系的发明优先权”,进而“郁郁寡欢,大失所望,发誓抛弃了一切数学研究”.你又有何看法呢?假如你是鲍耶,你又该怎么做呢?
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com