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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）

    已知函数。

    （1）证明：

    （2）若数列的通项公式为，求数列 的前项和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （3）设数列满足：，设，

    若（2）中的满足对任意不小于2的正整数，恒成立，

    试求的最大值。

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    （本小题满分14分）已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；

    （Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.

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    （本小题满分14分）设函数

     （1）求函数的单调区间；

     （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

     （3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。

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    （本小题满分14分）

    已知，其中是自然常数，

    （1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （2）求证：在（1）的条件下，；

    （3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

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    （本小题满分14分）

    设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

    （I）求数列的通项公式；

    （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

    （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

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    一．选择题：ABCDC CAACB

    解析：

    1： M，P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选A。

    2：因，取α=－代入sinα>tanα>cotα，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。

    3：构造特殊函数f(x)=x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C。

    4：题中可写成。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=，可将问题看成圆(x－2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。

     

    5：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，故选C。

     

    6：取满足题意的特殊数列，则，故选C。

    7：二项式中含有，似乎增加了计算量和难度，但如果设，，则待求式子。故选A。

    8：去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为。故选A。

    9：考虑特殊位置PQ⊥OP时，，所以，故选C。

    10：08年农民工次性人均收入为：

    又08年农民其它人均收入为1350+160=2150

    故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元）。故选B。

    二．填空题：11.25;    12. ;  13.  ， ；14.；  15、；

    解析：11：

    12：

    13：；

    14.解：由，得

    15．解：∵PA切于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA, ∴,∴,

    在△POD中由余弦定理 ，得=

    ∴

    三．解答题：

    16.解：（Ⅰ）∵

    ∴     ∴-----------------2分

    若则得----------------------------4分

    ∵  

    ∴或

    ∴ -------------------------------------------------6分

    （Ⅱ）∵

    ＝

    ----------------------------------9分

       ∴函数的最小正周期为T=π-----------------------------------------10分

    由得

    ∴的单调增区间.----------------12分

    17．（Ⅰ）证法一：在中，是等腰直角的中位线，

                                  ……………………………1分

    在四棱锥中，，，       ……………2分

    平面，                                        ……5分

    又平面,                           …………7分

    证法二：同证法一                              …………2分

                                        ……………………4分

    平面，                                      ………5分

    又平面,                  ……………………7分

    （Ⅱ）在直角梯形中，

    ,                     ……8分

    又垂直平分，           ……10分

    三棱锥的体积为：

                    ………12分

    18．解：由题意可知,图甲图象经过（1,1）和（6,2）两点,

    从而求得其解析式为y甲=0.2x+0.8-----------------------（2分）

    图乙图象经过（1,30）和（6,10）两点,

    从而求得其解析式为y乙=-4x+34.------------------------- （4分）

    (Ⅰ)当x=2时，y甲=0.2×2+0.8 =1.2,y乙= -4×2+34=26，

    y甲?y乙=1.2×26=31.2.

    所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.------------ ---（6分）

     (Ⅱ)第1年出产鱼1×30=30（万只）, 第6年出产鱼2×10=20（万只）,可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了----------------------------------（8分）

     (Ⅲ)设当第m年时的规模总出产量为n,

    那么n=y甲?y乙=（0.2m+0.8） (-4m+34)= -0. 8m2+3.6m+27.2

          =-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25---------------------------（11分）

    因此, .当m=2时,n最大值=31.2.

    即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只. --------------（14分）

    19．解：(Ⅰ) 由得: ,……（2分）

    变形得: 即:, ………（４分）

    数列是首项为1,公差为的等差数列. ………（5分）

    (Ⅱ) 由(1)得:, ………（7分）

    , ………（9分）

    （Ⅲ）由(1)知:  ………(11分）

    ………（1４分）

    20．解：（Ⅰ）由题意知，动圆圆心Q到点A和到定直线的距离相等，

    ∴动圆圆心Q的轨迹是以点A为焦点，以直线为准线的抛物线

    ∴曲线C的方程为。 -------------------------------------------------4分

    （Ⅱ）如图，设点，则的坐标为，

    ，∴曲线C在点处的切线方程为： -----------7分

    令y＝0，得此切线与x轴交点的横坐标，即， ， ---------10分

    ∴

    ∴数列是首项公比为的等比数列， -----12分

     -------------14分

    21．解：（Ⅰ）令

    得……………………………………2分

    当时，　  　故在上递减．

    当    故在上递增．

    所以，当时，的最小值为….……………………………………..4分

    （Ⅱ）由，有　即

    故　．………………………………………5分

    （Ⅲ）证明:要证：

    只要证：

     设…………………7分

    则

    令得…………………………………………………….8分

    当时，

    故上递减，类似地可证递增

    所以的最小值为………………10分

    而=

    =

    =

    由定理知:  故

    故

    即: .…………………………..14分


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