题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分14分）
已知函数
。
（1）证明：
（2）若数列
的通项公式为
，求数列 的前
项和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）设数列
满足：
，设
，
若（2）中的满足对任意不小于2的正整数
，
恒成立，
试求的最大值。
（本小题满分14分）已知
，点
在
轴上，点
在
轴的正半轴，点
在直线
上，且满足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹
方程；
的直线
与轨迹交于
、
两点，又过、作轨迹的切线
、
，当
，求直线的方程.（本小题满分14分）设函数
（1）求函数
的单调区间；
（2）若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在区间
上恰好有两个相异的实根，求实数
的取值范围。（本小题满分14分）
已知
，其中
是自然常数，
（1）讨论
时, 
的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求证：在（1）的条件下，
；
（3）是否存在实数
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（本小题满分14分）
设数列
的前
项和为
，对任意的正整数，都有
成立，记
。
（I）求数列
的通项公式；
（II）记
，设数列
的前项和为
，求证：对任意正整数都有
；
（III）设数列的前项和为
。已知正实数
满足：对任意正整数
恒成立，求的最小值。
一. 选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
C
C
A
A
二. 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7. 0
8. 36
9. 
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共3小题，共43分）
10．（本小题满分14分）
解：（I）设等差数列
的公差为
，则
…………2分
解得
…………4分
. …………5分
…………7分
（II）由
…………10分
…………12分
…………14分
11．（本小题满分14分）
解法1：(Ⅰ) 取CD的中点E，连结PE、EM、EA.
∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD （2分）
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得：EM=，AM=
，AE=3
∴
（4分）
，又
在平面ABCD上射影：
∴∠AME=90°， ∴AM⊥PM （6分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角 （8分）
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D为45°； （10分）
(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为，连结DM，则
， ∴
而
（12分）
在
中，由勾股定理可求得PM=
,所以：
∴
即点D到平面PAM的距离为
（14分）
解法2：(Ⅰ) 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
,
依题意，可得
……2分
∴
（4分）
∴
即
,∴AM⊥PM
（6分）
(Ⅱ)设
，且
平面PAM，则
即
∴
， 
取
，得
（8分）
取
，显然
平面ABCD， ∴
结合图形可知，二面角P－AM－D为45°； （10分）
(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则
=
即点D到平面PAM的距离为
（14分）
12．（本小题满分15分）
解：(Ⅰ)∵
轴，∴
,由椭圆的定义得：
（2分）
∵
，∴
，
（4分）
又
得
∴
∴
，
（6分）
∴所求椭圆C的方程为
．
（7分）
(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为
则
，
,
由
－4得－
，
∴点P的轨迹方程为
.
（9分）
设点B关于P的轨迹的对称点为
，则由轴对称的性质可得：
，解得：
，
（12分）
∵点在椭圆上，∴
，
整理得
解得
或
∴点P的轨迹方程为
或
，
（14分）
经检验和都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为或．
（15分）
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