如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：

（Ⅰ）异面直线与的距离；

（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.

【解析】第一问中，利用建立空间直角坐标系

解：（I）以B为原点，、分别为Y,Z轴建立空间直角坐标系.由于，

在三棱柱中有

,

设

又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为1.

（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量与的夹角.

 

设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和

3

，二面角α-l-β的平面角为

5π

6

，则球O的表面积等于．

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面和侧棱长都等于2，平面A₁ACC₁ AA₁C₁C⊥ABCD，∠A₁AC=60°．点O为底面对角线AC与BD的交点．
（1）证明：A₁O⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的正切值．

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，侧棱长为2cm，点C₁在底面ABCD上的射影H是CD的中点，CC₁与底面ABCD成60°的角，二面角A-CC₁-D的平面角等于30°，求此平行六面体的表面积．