（本小题满分12分）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且
（I）求两人想的数字之差为3的概率；
（II）若两人想的数字相同或相差1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率

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一．选择题：BACAC  DADBC

解析：

1.，复数  对应的点为，它与原点的距离是，故选B.

2．，但.故选A.

4．把直线向下平移二个单位，则点到直线的距离就相等了，故点的轨迹为抛物线，它的方程为，选A．

5．依题意知，，，又，，，，故选C.

6．当时，等价于，当时，等价于，故选D.

7．∵是等差数列，，，∴，，

∴，故选A.

8．由三视图知该工作台是棱长为80的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合

板，如右图示，则用去的合板的面积故选D．

9．，，故选B.

10．由，可得： 知满足事件A的区域的面积

，而满足所有条件的区域的面积：，从而，

得：，故选C．

二．填空题： 11. 18;12. ;13.;14. ；15.、.

解析：11．按系统抽样的方法，样本中4位学生的座位号应成等差数列，将4位学生的座位号按从小到大排列，显然6，30不可能相邻，也就是中间插有另一位同学，其座位号为（6＋30）÷2＝18，故另一位同学的座位号为18．

12．

13．设人经过时间ts后到达点B,这时影长为AB=S，如图由平几的知识

可得，=，由导数的意义知人影长度

的变化速度v＝（m/s）

14．曲线为抛物线段

借助图形直观易得

15.由切割线定理得,,

连结OC，则,,

三．解答题：

16.解：（1）---3分

∴函数的最小正周期为，值域为。--------------------------------------5分

（2）解法1：依题意得： ---------------------------6分

∵   ∴

∴＝-----------------------------------------8分

＝

∵＝

∴＝------------------------------------------------------------------------------13分

解法2：依题意得： 得----①-----------7分

∵   ∴

∴＝---------------------------------9分

由＝得-----------②----------------10分

①+②得，∴＝-------------------------13分

解法3：由得，--------------------7分

两边平方得，，--------------------------9分

∵  ∴由知

∴--------------------------------------11分

由，得

∴ ∴＝．---------------------------------13分

17．解：（1）∵是长方体  ∴侧面底面

∴四棱锥的高为点P到平面的距离---------------------2分

当点P与点A重合时，四棱锥的高取得最大值，这时四棱锥体积最大----------------------------------------------------------------------------------------------------3分

在中∵ ∴，------------- 4分

---------------------------------------------------5分

∴-----------------------------------7分

（2）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.-------8分

证明如下：由题意知，，

又    平面

又平面   平面平面．------------------- 13分

18．解：（1）设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）等可能的结果，

故-----------------------------------------------------------------6分

（2）这种游戏规则是公平的。----------------------------------------------------------------------------7分

设甲胜为事件B,乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)

所以甲胜的概率,乙胜的概率＝---------------------------11分

所以这种游戏规则是公平的。---------------------------------------------------------------------------------12分

19．解：（1）由椭圆的方程知，∴点，，

设的坐标为，

∵FC是的直径，∴

∵  ∴ -------------------------2分

∴，-------------------------------------------------3分

解得 -----------------------------------------------------------------------5分

∴椭圆的离心率---------------------------------6分

（2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------①-----------------------------------7分

∵BC的中点为，

∴BC的垂直平分线方程为-----②---------------------9分

由①②得，即--------------------11分

∵P在直线上，∴

∵  ∴--------------------------------------------------13分

由得

∴椭圆的方程为------------------------------------------------------------------14分

20.解：（1）当时，由得，

；（且）------------------------------------------------------2分

当时，由.得--------------------------------------4分

∴---------------------------5分

（2）当且时，由<0,解得，---------------------------6分

当时，------------------------------8分

∴函数的单调减区间为（－1，０）和（０，1）-----------------------------------------------9分

（3）对，都有即，也就是对恒成立，-------------------------------------------11分

由（2）知当时，

∴函数在和都单调递增-----------------------------------------------12分

又，

当时，∴当时，

同理可得，当时，有，

综上所述得，对， 取得最大值2；

∴实数的取值范围为.----------------------------------------------------------------14分

21．解：（1）由得

∴或--------------------------------------2分

∵，∴不合舍去-------------------------------------------3分

由得

方法1：由得

∴数列是首项为，公比为的等比数列----------------------5分

〔方法2：由得

当时

∴（）

∴数列是首项为