在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．
A、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．
B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
C、已知某圆的极坐标方程为：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D、若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集为R，求实数a的取值范围．

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在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．
A、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．
B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．
C、已知某圆的极坐标方程为：．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D、若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集为R，求实数a的取值范围．

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选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
A选修4-1：几何证明选讲
如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．
求证：∠ACB=

1

3

∠OAC．
B选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

.

1 1 2 1

.

，向量

β

=

1 2

．求向量

a

，使得A²

a

=

β

．
C选修4-3：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ²=

a

3cos2θ+4sin2θ

，焦距为2，求实数a的值．
D选修4-4：不等式选讲
已知函数f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+

(a+b+c)2

3

（a，b．c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量α2=

1 -1

，求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，

π

2

)，直线l过点A且倾斜角为

π

4

，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求证：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线C：xy=1在矩阵

2 2 - 2 2 2 2 2 2

对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数）和曲线C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）将两曲线方程分别化成普通方程；
（2）求两曲线的交点坐标．
D．（选修4-5：不等式选讲）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1．       2．1    3．－2     4．      5． （1）（2）

6． 4    7．甲       8．    9．9      10．

11．－2       12．       13．2       14． 2

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）

15．（本小题满分14分）

解：（1）∵

∴        …………………………………………5分

（2）∵∴

…………………………………………7分

         ……………………………………9分

或或7                   ………………………………14分

16．（本小题满分14分）

(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点，

        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

       ∴即EP∥平面A′FB                  …………………………………………5分

(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

     BC平面A′BC

   ∴平面A′BC⊥平面A′EC             …………………………………………9分

(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，

  在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C

      由(2)知：BC⊥平面A′EC   又A′A平面A′EC

      ∴BC⊥AA′

      ∴A′A⊥平面A′BC                   …………………………………………14分

17．（本小题满分15分）

解：（1）取弦的中点为M，连结OM

由平面几何知识，OM=1

                   …………………………………………3分

解得：，               ………………………………………5分

∵直线过F、B ，∴则     …………………………………………6分

（2）设弦的中点为M，连结OM

则

              ……………………………………9分

解得                       …………………………………………11分

∴                    …………………………………………15分

（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得）

18．（本小题满分15分）

（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2

     则S_△ADE= S_△BDE= S_△BCE=

      ∵S_△APQ=，∴

      ∴             …………………………………………7分

（2）

          =?

…………………………………………12分

    当，

即，            

…………………………………………15分

19．（本小题满分16分）

解（1）证：       由  得

在上点处的切线为，即

又在上点处切线可计算得，即

∴直线与、都相切，且切于同一点（）      …………………5分

（2）

      …………………7分

   ∴在上递增

   ∴当时……………10分

（3）

设上式为 ，假设取正实数，则?

当时，，递减；

当，，递增． ……………………………………12分

∴不存在正整数，使得

即                  …………………………………………16分

20．（本小题满分16分）

解：（1），

，对一切恒成立

的最小值，又 ，

                       …………………………………………4分

（2）这5个数中成等比且公比的三数只能为

只能是，

      …………………………8分

，显然成立             ……………………………………12分

当时，，

使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3

                          ……………………………………………16分

泰州市2008～2009学年度第二学期期初联考

高三数学试题参考答案

附加题部分

21．（选做题）（从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．）

A．解：(1)

∴

∴AB=CD                            ……………………………………4分

（2）由相交弦定理得

2×1=(3+OP)(3-OP)

∴，∴               ……………………………………10分

B．解：依题设有：     ………………………………………4分

 令，则           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

C．解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1），，由得．

所以．

即为圆的直角坐标方程．  ……………………………………3分

同理为圆的直角坐标方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相减得过交点的直线的直角坐标方程为． …………………………10分

D．证明：（1）因为

    所以          …………………………………………4分

    （2）∵   …………………………………………6分

    同理，，……………………………………8分

    三式相加即得……………………………10分

22．（必做题）（本小题满分10分）

解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的, 则其概率为                …………………………………………4分

    答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为

（2）随机变量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴随机变量的分布列为

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

23．（必做题）（本小题满分10分）

（1），，，

，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一个法向量为

设平面BFC₁的法向量为

∴

取得平面BFC₁的一个法向量

∴所求的余弦值为                     ……………………………………6分

（3）设（）

，由得

即，

当时，

当时，∴   ……………………………………10分