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    (Ⅱ)若不等的正整数成等差数列.试比较与的大小, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，S5=a32
    （1）求{an}的通项公式．
    （2）求证：对于任意的正整数m，l，数列am，am+l，am+2l都不可能为等比数列．
    （3）若对于任意给定的正整数m，都存在正整数l，使数列am，am+l，am+kl为等比数列，求正常数k的取值集合．

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    等差数列{an}的各项均为正整数，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1=1，且b2•S2=16，{ban}是公比为4的等比数列
    （1）求an与bn
    （2）设Cn=
    1
    S1
    +
    1
    S2
    +
    1
    S2
    +…+
    1
    Sn
    ，若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
    3
    4
    ＞Cn恒成立，求实数t的取值范围．

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    等差数列{ an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn为{an}的前n项和，令bn=anan+1，数列{
    1
    bn
    }的前n项和为Tn．
    （1）求an和Sn；
    （2）求证：Tn＜
    1
    3
    ；
    （3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

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    等差数列{an}的首项和公差都是
    23
    ，记{an}前n项和为Sn．等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn．
    （Ⅰ） 写出Si（i=1，2，3，4，5）构成的集合A；
    （Ⅱ） 若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得Tk，T2k同时为集合A中的元素？若存在，写出所有符合条件的{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由；
    （Ⅲ） 若将Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式．

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    等差数列{ an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn为{an}的前n项和，令bn=anan+1，数列{数学公式}的前n项和为Tn．
    （1）求an和Sn；
    （2）求证：Tn＜数学公式；
    （3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

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    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

    1.         2.       3.         4.25         5.         6.

    7.            8.③               9.6              10.50%(填0.5，都算对)

    11.          12.＜              13.12             14.或

    二、解答题：本大题共6小题，计90分.

    15.解:（Ⅰ）当时，点P共有28个，而满足的点P有19个，

    从而所求的概率为………………………………………………………………………(7分)

       （Ⅱ）当时,由构成的矩形的面积为,而满足

    的区域的面积为，故所求的概率为……………………………………(14分)

    16.证:(Ⅰ)连接交于,连接.

    ∵分别是的中点，∴∥且=,∴四边形是矩形.

    ∴是的中点………………………………………………………………………………(3分)

    又∵是的中点,∴∥……………………………………………………………(5分)

    则由,,得∥………………………………………(7分)

    (注:利用面面平行来证明的,类似给分)

    (Ⅱ) ∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.

    又∵,即⊥,∴⊥面………………………(9分)

    而面,∴⊥……………………………………………………………(12分)

    又,∴平面……………………………………………………………(14分)

    17. 解:(Ⅰ)由,得

    ,所以………………………………………………(4分)

    则,所以……………………………………………………(7分)

       (Ⅱ)方案一：选择①③.

    ∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0，所以，则根据余弦定理，

    得，解得b=,则c=…………………(11分)

    ∴…………………………………(14分)

    方案二：选择②③. 可转化为选择①③解决,类似给分.

    (注：选择①②不能确定三角形)

    18. 解:（Ⅰ）,即,

      ,准线,……………………………………………………(2分)

      设⊙C的方程为,将O、F、A三点坐标代入得：

    ,解得………………………………………………………(4分)

    ∴⊙C的方程为……………………………………………………(5分)

    （Ⅱ）设点B坐标为,则,整理得：

    对任意实数都成立……………………………………………(7分)

    ∴,解得或,

    故当变化时，⊙C经过除原点O外的另外一个定点B……………………………(10分)

    （Ⅲ）由B、、得,

     ∴,解得……………………………………………(12分)

       又 ,∴………………………………………………………………(14分)

    又椭圆的离心率（）……………………(15分)

     ∴椭圆的离心率的范围是………………………………………………………(16分)

    19. (Ⅰ)证:因为对任意正整数，总成立,

    令，得,则…………………………………………(1分)

    令，得  (1) , 从而   (2),

    (2)－(1)得,…………………………………………………………………(3分)

    综上得,所以数列是等比数列…………………………………………(4分)

    （Ⅱ）正整数成等差数列，则,所以,

    则……………………………………………………(7分)

    ①当时，………………………………………………………………(8分)

    ②当时，…………………………(9分)

    ③当时，……………………(10分)

    （Ⅲ）正整数成等比数列，则,则,

    所以，……………(13分)

    ①当,即时，……………………………………………(14分)

    ②当,即时，………………………………(15分)

    ③当,即时，………………………………(16分)

    20. 解: (Ⅰ)当时,.

    因为当时,,,

    且,

    所以当时,,且……………………………………(3分)

    由于,所以,又,

    故所求切线方程为,

    即…………………………………………………………………(5分)

       (Ⅱ) 因为,所以,则  

                                                              

      

    当时,因为,,

    所以由,解得,

    从而当时, ……………………………………………(6分)

    ①     当时,因为,,

    所以由,解得,

    从而当时, …………………………………………(7分)

    ③当时,因为,

    从而 一定不成立………………………………………………………………(8分)

    综上得,当且仅当时,,

    故 …………………………………………(9分)

    从而当时,取得最大值为…………………………………………………(10分)

    (Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”,

    即“(*)对恒成立” ……………………………………(11分)

    ①     当时,,则当时,,则(*)可化为

    ,即,而当时,,

    所以,从而适合题意………………………………………………………………(12分)

    ②     当时,.

    ⑴     当时,(*)可化为,即,而,

    所以,此时要求

     

    …………………………………………………………(13分)

    ⑵        当时,(*)可化为,

    所以,此时只要求………………………………………………………(14分)

    (3)当时,(*)可化为,即,而,

    所以,此时要求…………………………………………………………(15分)

    由⑴⑵⑶,得符合题意要求.

     综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是………………………………(16分)

     

     

    数学附加题部分

    21.A.解：因为PA与圆相切于点A,所以.而M为PA的中点,

    所以PM=MA,则.

    又,所以,所以……………………(5分)

    在中,由,

    即,所以,

    从而……………………………………………………………………………(10分)

    B．解:,所以=……………………………(5分)

    即在矩阵的变换下有如下过程,,

    则,即曲线在矩阵的变换下的解析式为……(10分)

    C．解:由题设知,圆心,故所求切线的直角坐标方程

    为……………………………………………………………………………(6分)

          从而所求切线的极坐标方程为………………………………(10分)

    D．证:因为,利用柯西不等式,得…………………………(8分)

      即………………………………………………………………………(10分)

    22．解: (Ⅰ)以A为原点,AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，

    则A(0，0，0),B(2，0，0),C(0，2，0),E(0，1，0),P(0，0，1),

    所以,……………………………(4分)

    故异面直线BE与PC所成角的余弦值为……………………………………(5分)

    (Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延长线)于M,作CN⊥BE交BE(或延长线)于N,

    则存在实数m、n,使得,即

    因为,所以

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