在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵属于特征值-1的一个特征向量为，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

查看答案和解析>>

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=

2 a b 0

属于特征值-1的一个特征向量为

1 -3

，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=- 3 t y=1+t

（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

查看答案和解析>>

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

A

D

B

C

C

A

B

C

B

A

13. 　　　　14. 2　　　15. 　　　16. ①　④

17.1） ……2分

当 ∴                         ……4分 

，对称中心           ……6分

（2）                         ……8分

                                 ……10分

，                   ……12分

18. 解：1）                     ……5分

（2）分布列：

0

1

2

3

4

，，

，

评分：下面5个式子各1分，列表和期望计算2分（5＋2＝7分）

19. 解：（1）

    所以

   （2）设    ……8分

    当  

    当     

    所以，当

的最小值为……………………………… 12分

20.解法1：

（1）过S作，，连

∴  

∴        ……4分

（2），，∴是平行四边形

故平面

过A作，，连

∴为平面和

二面角平面角，而

应用等面积：，

∵，

故题中二面角为                         ……4分

（3）∵∥，到距离为到距离

又∵，，∴平面，∴平面

∴平面平面，只需B作SE连线BO₁，BO₁＝

设线面角为，，，

∴，故线面角为          ……4分

解法2：

（1）同上

（2）建立直角坐标系

平面SDC法向量为，

，，

设平面SAD法向量

，取，，

∴  ∴ 

∴二面角为

（3）设线面角为，

∴

21.（1）

时，        

……                                 

∴     

∴          

∴ （3分）

时，

……

∴  （5分）

故（6分）

（2）

又∵，∴

∴（12分）

22.（1）设，，

∵

∴，∴  （3分）

所以P点的轨迹是以为焦点，实半轴长为1的双曲线的右支（除顶点）。（4分）

（2）设PE斜率为，PR斜率为

PE：    PR：

令，，

∴  …………（6分）

由PF和园相切得：，PR和园相切得：

故：为两解

故有：

，  ……（8分）

又∵，∴，∴  （11分）

设，

故，，

∴   （14分）