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在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.
B.已知二阶矩阵属于特征值-1的一个特征向量为,求矩阵A的逆矩阵.

C.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合,曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直线l的参数方程为(t为参数,t∈{R}).试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值.
D.(1)设x是正数,求证:(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3
(2)若x∈R,不等式(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3是否仍然成立?如果仍成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.
【答案】分析:A.由题意,连接OC,可得△ACB是含有60°角的直角三角形,结合切线的性质和等边对等角算出∠DAC的度数,进而根据BC=3算出线段AE的长.
B.根据特征向量的定义,用待定系数法可求出矩阵A的值,再用逆矩阵的公式即可求出矩阵A的逆矩阵.
C.分别将曲线C与直线l化成普通方程,然后将直线l平移到与曲线C相切,即可得到与l较远的切线到l的距离即为所求.
D.(1)利用基本不等式,结合同向两个不等式相乘,即可得到(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3成立;
(2)分两种情况:x为正数和x为负数或零加以讨论,并结合因式分解判断积的符号,不难得到对任意x∈R,不等式(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3仍然成立.
解答:解:A.如图,连接OC,可得BC=OB=OC=3,
因此∠CBO=60°,由于∠DCA=∠CBO,
所以∠DCA=60°,结合AD⊥DC得∠DAC=30°.
又因为∠ACB=90°,得∠CAB=30°,所以∠EAB=60°,
从而∠ABE=30°,于是AE=AB=3.
B.根据题意,得=,即
=,可得,解之得a=,b=-3
,再由逆矩阵公式可得A的逆矩阵为A-1=
C.将曲线C的极坐标方程化成普通方程,得
直线l的普通方程为:x+-
设动直线m:x++n=0,与曲线C相切,
联解,由根的判别式,解得n=
检验得当n=时,直线m与曲线C的切点到直线l的距离最大,
这个最大距离为d==
∴曲线C上点M到直线l的距离的最大值是
D.(1)∵x是正数,∴1+x≥2,1+x2≥2x,1+x3≥2
由于以上3个不等式的两边都是正数,所以将它们相乘可得:
(1+x)(1+x2)(1+x3)≥2•2x•2=8x3
即不等式:(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3对任意正数x恒成立;
(2)①当x>0时,由(1)的结论可得(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3成立;
②当x≤0时,(1+x)(1+x2)(1+x3)=(1+x)2(1+x2)(1-x+x2)=(1+x)2(1+x2)[(x-2+]
而(1+x)2>0,1+x2>0且(x-2+>0,可得(1+x)(1+x2)(1+x3)>0
因为8x3≤0,所以(1+x)(1+x2)(1+x3)>8x3
综上所述,对任意x∈R,都有不等式(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3成立.
点评:本题通过几道解答题,考查了参数方程与极坐标、矩阵变换、不等式的证明和平面几何证明等理科附加知识的掌握,属于综合性较强的中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.
B.已知二阶矩阵A=
2a
b0
属于特征值-1的一个特征向量为
1
-3
,求矩阵A的逆矩阵.

C.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合,曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
(t为参数,t∈{R}).试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值.
D.(1)设x是正数,求证:(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3
(2)若x∈R,不等式(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3是否仍然成立?如果仍成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.
A选修4-1:几何证明选讲
如图,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C.
求证:∠ACB=
1
3
∠OAC.
B选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
.
11
21
.
,向量
β
=
1
2
.求向量
a
,使得A2
a
=
β

C选修4-3:坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
a
3cos2θ+4sin2θ
,焦距为2,求实数a的值.
D选修4-4:不等式选讲
已知函数f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+
(a+b+c)2
3
(a,b.c为实数)的最小值为m,若a-b+2c=3,求m的最小值.

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(选做题)在A,B,C,D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过
N点的切线交CA的延长线于P.
(1)求证:PM2=PA•PC;
(2)若⊙O的半径为2
3
,OA=
3
OM,求MN的长.
B.选修4-2:矩阵与变换
曲线x2+4xy+2y2=1在二阶矩阵M=
.
1a
b1
.
的作用下变换为曲线x2-2y2=1,求实数a,b的值;
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
x=1+
4
5
y=-1-
3
5
(t为参数),求直线l被圆C所截得的弦长.
D.选修4-5:不等式选讲
设a,b,c均为正实数.
(1)若a+b+c=1,求a2+b2+c2的最小值;
(2)求证:
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b

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选做题:在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,PA切⊙O于点A,D为PA的中点,过点D引割线交⊙O于B、C两点.求证:∠DPB=∠DCP.
B.选修4-2:矩阵与变换
设M=
.
10
02
.
,N=
.
1
2
0
01
.
,试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t为参数),求直线l被圆C所截得的弦长.
D.选修4-5:不等式选讲
解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

 选做题(在A、B、C、D四小题中只能选做两题,并将选作标记用2B铅笔涂黑,每小题10分,共20分,请在答题指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
A、(选修4-1:几何证明选讲)
如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于E,求证:AB2=AE•AD
B、(选修4-2:矩形与变换)
已知a,b实数,如果矩阵M=
1a
b2
所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1,求a,b的值.
C、(选修4-4,:坐标系与参数方程)
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
上的动点,判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离.
D、(选修4-5:不等式选讲)
设a,b,c是不完全相等的正数,求证:a+b+c>
ab
+
bc
+
ca

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