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如图，椭圆C：的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，点F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，直线x=2是椭圆的准线方程，直线L：y=kx+m与椭圆C交于不同的A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；
（2）若在椭圆C上存在点Q，满足（O为坐标原点），求实数λ的取值范围。

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如图，设抛物线c₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

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选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

A

A

B

C

D

C

A

填空题

11.     12.   13.-18   14.(2,3)     15.①②⑤

16. 解(1)由题意得, ………2分 ； 从而, ………4分

又,所以   ………………………………………6分

(2)由(1)得………………………8分

因为,所以,所以当时,取得最小值为1…10分

且的单调递减区间为          ………………………………12分

17.　令设的值域为M.

　（Ⅰ）当的定义域为R，有.

　　　　故　　　　…………………………6分

（Ⅱ）当的值域为R，有

　　　故　或

　　　∴　　　………………………………………………12分

18. 建立如图所示的直角坐标系，则E（30，0），F（0，20）。

  ∴线段的方程是………3分

　 在线段上取点，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，

设矩形PQCR的面积为s，则s＝|PQ|?|PR|＝（100－）（80－）.…………6分

又∵　，∴，

∴。……10分

∴当＝5m时，s有最大值，此时.

故当矩形广场的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，

且这个顶点分EF成5：1时，广场的面积最大。　　　　　　　　…………12分

19.解: (1) 由题知:  , 解得 , 故. ………2分

(2)  , 

,

, 

又满足上式.   所以……………7分

(3) 若是与的等差中项, 则,

从而,    得. 

因为是的减函数, 所以

当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;

当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为. 

又, 所以,

即数列中最小, 且.   …………12分

20.解：（1）三个函数的最小值依次为，，

由，得 

∴

，

故方程的两根是，．

故，． ，即

∴  ．………………6分

（2）①依题意是方程的根，

故有，，

且△，得．

由……………9分

 ；得，，．

由（1）知，故，

∴  ，

∴  ．………………………13分

21.（Ⅰ）设AB：x=my+2,  A(x₁,y₁) ,B(x₂,y₂)

     将x=my+2代入，消x整理，得：

     （m²+2）y²+4my-4=0

    而=

     ==

 取“=”时，显然m=0,此时AB：x=2……………………6分

(Ⅱ）(?)显然是椭圆的右焦点，离心率

         且

         作  点A在椭圆上

      ……………10分

(?)同理 ,由

有  =2

解得：=，故

 所以直线AB: y=(x-2)

即直线AB的方程为………14分