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           高三数学试卷(文科)                  2009.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

A

B

C

C

B

C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．x²-=1  10．14    11．160   12．16π, π  13．①②    14．-3x²+6

注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分12分）

    （Ⅰ）解：因为cos B=2cos²-1=，              …………………………3分

          在△ABC中，由余弦定理b²= a²+c²-2accos B,

          得b²=16+9-24×=22，

          所以b=；                              …………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知cos B=，B∈（0, π）,

           所以sim B=，               …………………………9分

           由三角形的面积公式S=acsin B,

      得S=×4×3×=.

 所以△ABC的面积为.             …………………………12分

16.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.   ……………1分

         由题意，事件A包括以下两个互斥事件：

①事件B：有2件甲批次产品检验不合格.由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得P（B）=C²₃；     ……………… 3分

高三数学（文科）答案 第1页（共8页）

②事件C：3件甲批次产品检验都不合格.由相互独立事件概率乘法公式，得

P(C)=()³=；

所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)= P(B)+ P(C)= ；

……………… 6分

（Ⅱ）解：记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D.由题意，事件D包括以下两个互斥事件:

①     事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格.其概率

P(E)=()³C¹₃()¹(1-)²=；                  ……………… 9分

②     事件F:有2件甲批次产品检验不合格,且有0件乙批次产品检验不合格.其概率

P(F)=C²₃()²(1-).(1-)³=;

所以,事件D的概率为P(D)= P(E)+ P(F)=            …………… 12分

17.(本小题满分14分)

方法一：(Ⅰ)证明：∵平面PCD⊥平面ABCD．

         又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD．

         ∴BC⊥平面PCD，        ……………………3分

         ∵PD平面PCD,

    ∴BC⊥PD；  　　　       …………………4分

    (Ⅱ)解：取PD的中点E，连接CE、BE，

       ∵△PCD为正三角形，

       ∴CE⊥PD，

       由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD，

       ∴CE是BE在平面PCD内的射影．

       ∴BE⊥PD，

       ∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角，                  ……………………7分

       在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=，

       ∴tan∠CEB==，

        ∴二面角B-PD-C的大小为arctan;                …………………10分

高三数学（文科）答案 第2页（共8页）

（Ⅲ）解：过D作DF⊥PC于F，

      ∵BC⊥平面PCD，

      ∴BC⊥DF.

             ∵PC∩BC=C.

      ∴DF⊥平面PBC,且BF∩平面PBC=F,

∴DF为点D到平面PBC的距离,                       …………………13分

  在等边△PCD中, DC=2, DF⊥PC,

  ∴CF=1,DF=,

∴点A到平面PBC的距离等于.                    …………………14分

方法二：(Ⅰ)证明：取CD的中点为O，连接PO，

   ∵PD=PC，∴PO⊥CD，

   ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

   ∴PO⊥平面ABCD，      ………………………2分

    如图，在平面ABCD内，过O作OM⊥CD交AB于M,

以O为原点，OM、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间

直角坐标系O-xyz，

    则B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，－l，0)，P(0，0，)，

    ∵=(0，－l，－)，=(－2，0，0)，

    ∴?=0，

    ∴BC⊥PD；                                           …………………4分

(Ⅱ)解：取PD的中点E，连接CE、BE，如(Ⅰ)建立空间坐标系，则E(0，－，)，

    ∵△PCD为正三角形，

    ∴CE⊥PD，

        ∵=(－2，－2，0)，=(－2，－1，)，

        ∴==，

∴BE⊥PD，

∴∠CEB为二面角B-PD- C的平面角，               ………………………7分

高三数学（文科）答案 第3页（共8页）

        ∵=(2，，-)，=(0，，-)，

        ∴cos∠BEC===，

        ∴二面角B-PD- C的大小为arccos                    ……………10分

(III)解：过点D作DF⊥平面PBC于F，

    ∴DF为点D到平面PBC的距离，设=h，

        ∵=(-2，0，0)，= (0，-1，)，

        ∴=0，即BC⊥CP，

        ∴△PBC的面积S_△PBC=|BC|?|PC|=2，

        ∵三棱锥D-PBC的体积V_D-PBC=V_P-BCD，

        ∴S_△PBC=S_△BCD，即，解得h=，

        ∴点D到平面PBC的距离为．                         ……………14分

18．（本小题满分14分）

   （Ⅰ）解：函数f(x)的导数 f′(x)= x²-4x+a,                    ………………2分

         由题意，得f′(2)=-4+a=-1，

         所以a=3,

         故f(x)=x³-2 x²+3 x；                                ………………5分

   （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知f′(x)= x²-4 x+3，

         由f′(x)= x²-4 x+3=0，得x=1，或x=3.

         x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(-∞，1)

1

(1，3)

3

(3，+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

极大值

极小值0

………………8分

高三数学（文科）答案 第4页（共8页）

所以,当b1或b-13时,函数f(x)无极值；      ……………………10分

          当b-1＜1,且b＞1时,函数f(x)在x=1时,有极大值,此时函数无极小值；

          当b-1＜3,且b＞3时,函数f(x)在x=3时,有极小值0,此时函数无极大值；

          当b-11,且b3时, 函数f(x)无极值.   ……………………13分

故当b∈(-∞,1]∪[2,3]∪[4,+ ∞)时,函数f(x)无极值;

          当b∈(1,2)时,函数f(x)在x=1时,有极大值,此时函数无极小值;

          当b∈(3,4)时,函数f(x)在x=3时,有极小值0,此时函数无极大值.………14分

19．(本小题满分14分)

    方法一：(Ⅰ)解：由题意，得F(1，0)，直线l的方程为y=x-1．

   由，得x²-6 x +1=0，

          设A，B两点坐标为A (x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中点M的坐标为M(x₀，y₀)，

          则x₁=3+2，x₂=3-2，y₁= x₁-1=2+2，y₂= x₂-1=2―2，

          故点A(3+2，2+2)，B(3-2，2-2)，            ……………3分

       所以x₀==3，y₀= x₀-1=2，

          故圆心为M(3，2)，直径=，

          所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)²+( y-2)²=16；          ………………6分

(Ⅱ)解：因为=2，三点A，F，B共线且点A，B在点F两侧，

     所以=，

     设A，B两点坐标为A (x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则=（x₁-1，y₁），（1-x₂，-y₂），

     所以                   ①

     因为点A，B在抛物线C上，

所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，                    ②           ………………10分

高三数学（文科）答案 第5页（共8页）

     由①②，解得    或

     所以A(2,2)，B(,-)，或A(2,-2)，B(,)，………13分

     故直线l的方程为2x-y-2=0，或2x+y-2=0.     ………14分

方法二：(Ⅰ)解:由题意,得F(1,0),直线l的方程为y=x-1.

        由，得x²-6x+1=0,

    设A, B两点坐标为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点M的坐标为M(x₀,y₀),

        因为△=6²-4=32＞0,所以x₁+ x₂=6, x₁x₂=1,

        所以x₀==3,y₀= x₀-1=2,故圆心为M(3,2),         ………………3分

        由抛物线定义,得=+=(x₁+)+(x₂+)= x₁+ x₂+p=8,

        所以= x₁+ x₂+P=8(其中p=2).

        所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)²+( y-2)²=16；       ………………6分

(Ⅱ)解：因为=2，三点A, F，B共线且点A, B在点F两侧，

   所以=2，

   设A, B两点坐标为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)则=（x₁-1，y₁），=（1-x₂，-y₂），

所以                    ①         ………………9分

设直线AB的方程为y= k(x-1)或x=1（不符合题意，舍去）.

由，消去x得ky²-4y-4k=0，

因为直线l与C相交于A, B两点，所以k≠0，

则Δ=16+16k²>0，y₁+y₂=，y₁ y₂=-4，       ②   

高三数学（文科）答案 第6页（共8页）

 由①②，得方程组，解得或，……13分

       故直线l的方程为x- y-=0，或 x + y-=0.       ……14分

20.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解:∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，

∴(a_n+1+S_n+1)-(a_n+S_n)=2，

即a_n+1=，                                              ……2分

∵a₁=1，

∴a₂=，a₃=；                                             ……4分

(Ⅱ)证明：由题意，得a₁-2=-1，

    ∵

∴{a_n-2}是首项为-1，公比为的等比数列；                    ……8分

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得a_n-2=-()^n-1，

    ∴a_n =2-()^n-1，

∵{a_n+S_n}是首项为a₁+ S₁=2，公差为2的等差数列，

∴a_n+S_n=2+(n-1)×2=2n，

∴S_n=2n-2+()^n-1，                                        ……9分

设存在整数λ，使不等式S_n-n+ 1λa_n对任意的n∈N^*成立，

即存在整数λ，使不等式n-1+()^n-1λ[2-()^n-1]对任意的n∈N^*成立，

∴当n=1时，不等式成立，解得λ1，                         ……10分

以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式S_n-n+ 1λa_n对任意的n∈N^*成立.

高三数学（文科）答案 第7页（共8页）

当n=2时,不等式化简为，成立；

当n3时，∵（S_n-n+ 1）-a_n=n-3+()^n-2>0，

           ∴（S_n-n+ 1）>a_n成立.

综上,知存在整数λ，使不等式S_n-n+ 1λa_n对任意的n∈N^*成立,且λ的最大值为1.

                                                                     ……14分

高三数学（文科）答案 第8页（共8页）