题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分14分）
已知函数
。
（1）证明：
（2）若数列
的通项公式为
，求数列 的前
项和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）设数列
满足：
，设
，
若（2）中的满足对任意不小于2的正整数
，
恒成立，
试求的最大值。
（本小题满分14分）已知
，点
在
轴上，点
在
轴的正半轴，点
在直线
上，且满足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹
方程；
的直线
与轨迹交于
、
两点，又过、作轨迹的切线
、
，当
，求直线的方程.（本小题满分14分）设函数
（1）求函数
的单调区间；
（2）若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在区间
上恰好有两个相异的实根，求实数
的取值范围。（本小题满分14分）
已知
，其中
是自然常数，
（1）讨论
时, 
的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求证：在（1）的条件下，
；
（3）是否存在实数
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（本小题满分14分）
设数列
的前
项和为
，对任意的正整数，都有
成立，记
。
（I）求数列
的通项公式；
（II）记
，设数列
的前项和为
，求证：对任意正整数都有
；
（III）设数列的前项和为
。已知正实数
满足：对任意正整数
恒成立，求的最小值。
一、选择题（每小题5分，共60分）
BDACC ACDDB AA
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．
14．
15．
16．②③
三、解答题（共74分）
17．解:（I）由正弦定理
,有
代入
得
即
（Ⅱ）
由
得
所以，当
时，
取得最小值为0
18．解：（I）由已知得
故
即
故数列
为等比数列，且
又当
时，
而
亦适合上式
（Ⅱ）
所以
19．解：（I）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥
的底面的边长为1的正方
侧棱
底面
，且
，
（Ⅱ）连结
交
于
，则为的中点，
为
的中点，
，
又
平面
内，
平面
（Ⅲ）不论点E在何位置，都有
证明：连结
是正方形，
底面，且
平面，
又
平面
不论点
在何位置，都有
平面
不论点E在何位置，都有。
20．解：
（I）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果（如下图所示）。
由上图可以看出，实验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，实验属于古典概型。 用
表示事“连续抽取2人都是女生”。则与
互斥，并且
表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，的结果有12种，的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得
即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7
（Ⅱ）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用（2，4）来表示，所有的可能结果可以用下表列出。
第二次抽取
第一次抽取
1
2
3
4
5
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
实验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，实验属于古典型。
用
表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，的结果共
有5种，因次独唱和朗诵由同一个人表演的概率
21．解：
（I）
依题意由
即
解得
，得
的单调递减区间是
（Ⅱ）由
得
不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示；
由
得
不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示；
由 得
点的坐标为（0，-1）
设
，则
表示平面区域内的点
与点
连线斜率。
，由图可知
或
即
22．解：（I）设椭圆方程为
则根据题意，双曲线的方程为
且满足
解方程组得
椭圆的方程为
，双曲线的方程
（Ⅱ）由（I）得
设
，则由
得
为
的中点，所以
点坐标为
，
将、坐标代入椭圆和双曲线方程，得
消去
，得
解之得
或
（舍）
所以
，由此可得
，
所以
当为
时，直线
的方程是
即：
代入，得
所以
或-5（舍）
所以
，
轴。
所以
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