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已知函数．

（I）当时，求函数的极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II） 若函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：；

（III）对任意的图像在处的切线的斜率为，求证：是成立的充要条件．  

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一、选择题（每小题5分，共60分）

BDACC   ACDDB   AA

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．；   14．    15．―192    16．

三、解答题（共74分）

17．解:（I）由正弦定理,有

        代入得

        即

  （Ⅱ）

        由得

        所以，当时，取得最小值为0

18．解：（I）由已知得

            故

            即

            故数列为等比数列，且

            由当时，

            所以

      （Ⅱ）

            所以

19．解：（I）从50名教师随机选出2名的方法为=1225，选出2人使用教材版本相同的方法数

            故2人使用版本相同的概率为。

      （Ⅱ）

            的分布为

0

1

2

20．解（I）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥的底面是边长为1的正方形，

           侧棱底面，且，

     （Ⅱ）不论点E在何位置，都有

           证明：连结是正方形，

                 底面，且平面，

                 又平面

                 不论点在何位置，都有平面

                 不论点E在何位置，都有。

     （Ⅲ）以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图：

           则从而

           设平面和平面的法向量分别为

           ，

           由法向量的性质可得：

           令则

           设二面角的平面角为，则

           二面角的大小为。

21．解：（1）由题意可知直线的方程为，

因为直线与圆相切，所以，即

从而

   （2）设，则，

又

（

①当时，，解得，

此时椭圆方程为

②当时，，解得，

当，故舍去

综上所述，椭圆的方程为

22．解：（I）依题意，知的定义域为（0，+）

当时，

令，解得。

当时，；当时，

又所以的极小值为2-2，无极大值。

   （Ⅱ）；

令，解得。

   （1）若令，得令，得

   （2）若，

①当时，，

令，得或；

令，得

②当时，

③当时，得，

令，得或

令，得

综上所述，当时，的递减区间为，递增区间为

当时，的递减区间为；递增区间为

当时，递减区间为

当时，的递减区间为，递增区间为

   （Ⅲ）当时， ，

由，知时，

依题意得：对一切正整数成立

令，则（当且仅当时取等号）

又在区间单调递增，得，

故又为正整数，得

当时，存在，对所有满足条件。

所以，正整数的最大值为32。