如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．

（1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；

（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；

（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；

（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．

如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．