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如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4．E、F分别是棱CC₁、AB中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥BB₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-ECBB₁的体积；
（Ⅲ）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明．

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如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是A₁B₁、CC₁的中点，过D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G．
（Ⅰ）求证：EG∥D₁F；
（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；
（Ⅲ）求正方体被平面D₁EGF所截得的几何体ABGEA₁-DCFD₁的体积．

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如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别是B₁A、CC₁、BC的中点．现设A₁A=2a
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的正切值．

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如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连接PB、PC．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求二面角A-CD-P的平面角的余弦值．

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

    BCDCA   DCBBD    BC

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．24     14．       15．5      16．4

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．解：（1）   =0

由正弦定理得：，

若因为所以，故

若，因为，所以，故

综上或

18．解：（1）

当时，

两式相减得

即

当时，数列是等比数列

要使数列是等比数列，

当且仅当，即

从而

（2）设数列的公差为

由得

故可设

又

右题意知

解得

又等差数列的前项和有最大值，

从而

19．解：（1）平面

证明：因为平面，所以，

又在中，，所以，又

所以，平面，

又在中，、分别是、上的动点，且

平面平面，

所以，不论为何值，总有平面；

（2）解：在中，，，所以，

又平面，所以，

又在中，，

由（1）知平面，

所以，三棱锥的体积是

20．解：（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得：

的分布列为

0

1

2

P

（2）设“甲、乙都不被选中”的事件为，则

所求概率为

（3）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，

（或直接得）

21．解：（1）甲得是的中点

设依题意得:

消去，整理得

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示圆。

（Ⅱ）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，

因为直线斜率不存在时不符合题意，

可设直线的方程为 ，直线与椭圆的交点为

要使为锐角，则有

即

可得，对于任意恒成立

而。

所以满足条件的的取值范围是

22．解：（1）当时，

所以，在上是单调递增，

（2）的定义域是

当时，，所以，

当时，，所以，，

所以，在上单调递减，在上，单调递增，

所以，

  （3）由（2）知在上是单调递增函数，

若存在满足条件，则必有，

也即方程在上有两个不等的实根

但方程即只有一个实根

所以，不存在满足条件的实数