设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且

AP

=

8

5

PQ

．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+

3

y+3=0相切，求椭圆C的方程．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M(

2

，1)，且左焦点为F1(-

2

，0)
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，证明：点Q总在某定直线上．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F₁F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．
（1）若过A．Q．F₂三点的圆恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：

1

|F2M|

+

1

|F2N|

为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．