45.(2009江苏卷)(本题满分10分)

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在轴上。

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

44.(2009北京理)(本小题共14分)

已知双曲线的离心率为，右准线方程为

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.

[解法1]本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

(Ⅰ)由题意，得，解得，

　∴，∴所求双曲线的方程为.

(Ⅱ)点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.

由及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，

设A、B两点的坐标分别为，

则，

∵，且

，

.

∴ 的大小为.

[解法2](Ⅰ)同解法1.

(Ⅱ)点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.由及得

　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　 ②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，设A、B两点的坐标分别为，

则，

∴，∴ 的大小为.

(∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零).

43.(2009北京文)(本小题共14分) 　　

已知双曲线的离心率为，右准线方程为。

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.　

[解析]本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

解(Ⅰ)由题意，得，解得，

∴，∴所求双曲线的方程为.

(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，

　 由得(判别式),

∴,

∵点在圆上，

∴，∴.

42.(2009浙江文)(本题满分15分)

已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．

(I)求与的值；

(II)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

解(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义

点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得

抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得

(Ⅱ)由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。

则，当　 则。

联立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直线斜率为 　　　

，联立方程

整理得：，即：

　，解得：，或

，

而抛物线在点N处切线斜率：

　　　　 MN是抛物线的切线，，

　　　　 　整理得

，解得(舍去)，或，

41.(2009浙江理)(本题满分15分)

已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

　(I)求椭圆的方程；

　(II)设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

解(I)由题意得所求的椭圆方程为， 　　

(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则， 　　

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．

40.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.

(1)求椭圆G的方程

(2)求的面积

(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.

解(1)设椭圆G的方程为：　 ()半焦距为c;

　 　则 , 解得 ,

　 　所求椭圆G的方程为：. 　　　　　　　

(2 )点的坐标为

(3)若，由可知点(6，0)在圆外，

　 若，由可知点(-6，0)在圆外；

　 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.

39.(2009年上海卷理)已知、是椭圆(＞＞0)的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________. 　　　　　　　

[解析]依题意，有，可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，

故有b＝3。

[答案]3

38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 　　　　　.

[解析]连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率_.

[答案]

37.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 　　　　　　　　。

[解析]设抛物线为y²＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，

得：x²－kx＝0，＝k＝2×2，故.

[答案]

36.(2009辽宁卷理)以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解析]注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),

　 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4

　 而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5

　 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.

[答案]9