(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 　公式E(aξ+b)= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np

3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．

分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A(在此升水中含一个大肠杆菌)恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.

　解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=．

　　∴　P(ξ=k)=P_n(k)=C)^k(1－)^n－k(k=0,1,2,….,n)．

　∴　ξ-B(n,)，故　Eξ =n×=　 　

2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

解：⑴因为，，所以

1×+0×

⑵η的概率分布为

η	0	1	2
P

所以　　 0×+1×+2×＝1.4．

　　 ⑶ξ的概率分布为

ξ	0	1	2	3
P

　　所以　 0×+1×+2×＝2.1.

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则(　　　 )

A．4；　B．5；　C．4.5；　D．4.75

答案：C 　

例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望

解：因为，

所以

例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望

解：∵，

=3.5

例3. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字)

解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次(=1，2，…，10)取出次品的概率：

(=1，2，…，10)

需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.15	0.1275	0.1084	0.092	0.0783	0.0666	0.0566	0.0481	0.0409	0.2316

根据以上的概率分布，可得的期望

例4. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B(20,0.9),,

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

例5．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

ξ	1	2	3	4	5	6
P

所以　　

1×+2×+3×+4×+5×+6×

＝(1+2+3+4+5+6)×＝3.5．

抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

例6．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η

(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为

求所收租车费η的数学期望．

(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

解：(Ⅰ)依题意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2；

(Ⅱ)

∵　 η=2ξ+2

∴　 2Eξ+2=34.8　 (元)

故所收租车费η的数学期望为34.8元．

　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15

　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 　

5.若ξB(n,p)，则Eξ=np

证明如下：

∵　，

∴　0×+1×+2×+…+k×+…+n×．

又∵　 ，

　 ∴　 ++…++…+．

故　若ξ-B(n，p)，则np．

4. 期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ	x1	x2	…	xn	…
η			…		…
P	p1	p2	…	pn	…

于是……

　　　 ＝……)……)

　　　 ＝，

由此，我们得到了期望的一个性质:

3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望

根据射手射击所得环数ξ的分布列，

我们可以估计，在n次射击中，预计大约有　

　次得4环；

　　次得5环；

…………

　次得10环．

故在n次射击的总环数大约为

，

从而，预计n次射击的平均环数约为

．

这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个(i=0，1，2，…，10)，我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:

…．

1.数学期望:　 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 ……　 为ξ的数学期望，简称期望．