10.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

求证：

(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

证明　 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,

设AC∩BD=N，连接NE.

则点N、E的坐标分别为、(0，0，1).

∴=.

又点A、M的坐标分别是

(，，0)、，

∴=.

∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知=，

∵D(，0，0)，F(，，1)，∴=(0，，1).

∴·=0.∴⊥.

同理⊥.又DF∩BF=F，∴AM⊥平面BDF.

9.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为BB₁、C₁D₁的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.

解　 以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.(如图所示).

设棱长为1，则A(1，0，0)，M(1，1，)，N(0，，1).

∴=(0，1，)，=(-1，，1).

设平面AMN的法向量n=(x，y，z)

∴

令y=2，∴x=-3，z=-4.∴n=(-3，2，-4).

∴(-3，2，-4)为平面AMN的一个法向量.

8.若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且a⊥b,a⊥c,则a=　　　　　 .

答案　 或

7.若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面内三点，设平面的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　 .

答案　 2∶3∶(-4)

6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是　　　　　 .

答案　 ①④

5.设点C(2a+1，a+1，2)在点P(2，0，0)、A(1，-3，2)、B(8，-1，4)确定的平面上，则a=　　　　 .

答案　 16

4.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为　　　　 .

答案　 ，-，4

3.已知A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是　　　　 (写出一个即可).

答案　

2.已知=(2，4，5)，=(3，x，y)，若∥，则x=　　　　　 ,y=　　　　　 .

答案　 6　

1.若平面、的法向量分别为n₁=(2，3，5)，n₂=(-3,1,-4),则，的位置关系是　　　　 (用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空).

答案　 相交但不垂直