8.(2008· 江西理，13)直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，-2)、C(9，7)，若E、F为线段BC的三等分点，则·=　　 .

答案　 22

7.(2008·天津理，14)如图所示，在平行四边形ABCD中，

=(1，2)，=(-3，2)，则·=　　 .

答案　 3

6.(2009·成化高级中学高三期中)已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a·(b+c)=　　　　　 .

答案　

5.已知a，b是非零向量，且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是　　　　 .

答案　

4.若a与b-c都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的　　　　　 条件.

答案　 充要

3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为　　　　 .

答案　

2.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a·b+b·b的值为　　　　 .

答案　 5

1.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·=· =·，则点O是△ABC的　　 心.

答案　 垂

12.已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB₁.求证：

(1)BC₁⊥AB₁；

(2)BC₁∥平面CA₁D.

证明　 如图所示，以C₁为原点，C₁A₁，C₁B₁，C₁C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.不妨设AC=2，由于AC=BC=BB₁，则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0,0,2),A₁(2，0，0)，B₁(0，2，0)，C₁(0，0，0)，D(1，1，2).

(1)由于=(0，-2，-2)，

=(-2，2，-2)，

所以·=0-4+4=0，因此⊥，

故⊥.

(2)方法一　 取A₁C的中点E，连接DE，由于E(1，0，1)，

所以=(0，1，1)，又=(0，-2，-2)，

所以=-·，又因为ED和BC₁不共线，

所以ED∥BC₁，且DE平面CA₁D，BC₁平面CA₁D，

故BC₁∥平面CA₁D.

方法二　 由于=(2，0，-2)，=(1，1，0)，

若设=x+y，

则得，解得，

即=-2，

所以，，是共面向量，

又因为BC₁平面CA₁D，因此BC₁∥平面CA₁D.

方法三　 求出平面CA₁D的法向量n,证明向量⊥n.

设n=(a,b,1),由于=(2，0，-2)，=(1，1，0)

∴,∴

∴n=(1，-1，1)，又∵=(0，-2，-2)，

∴n·=2-2=0，∴⊥n，

又∵平面CA₁D，∴∥平面CA₁D.

11.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.

(1)求证：平面AED⊥平面A₁FD₁；

(2)在AE上求一点M，使得A₁M⊥平面ADE.

(1)证明　 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

不妨设正方体的棱长为2，

则A(2，0，0)，E(2，2，1)，

F(0，1，0)，A₁(2，0，2)，D₁(0，0，2)，

设平面AED的法向量为n₁=(x₁，y₁，z₁)，

则n₁·=(x₁，y₁，z₁)·(2，0，0)=0，

n₁·=(x₁，y₁，z₁)·(2，2，1)=0，

∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0.

令y₁=1,得n₁=(0,1,-2),

同理可得平面A₁FD₁的法向量n₂=(0,2,1).

∵n₁·n₂=0，∴n₁⊥n₂,

∴平面AED⊥平面A₁FD₁.

(2)解　 由于点M在直线AE上，

设==(0，2，1)=(0，2，).

可得M(2，2，)，∴=(0，2，-2)，

∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，

只需A₁M⊥AE，

∴·=(0，2，-2)·(0，2，1)=5-2=0，

解得=.

故当=时，A₁M⊥平面ADE.